Calcule as integrais triplas usando coordenadas esféricas:
integralOmega z^2 d V
Omega é a região entre as esferas x^2+y^2+z^2=1 e x^2+y^2+z^2=4

Passo 1

O enunciado pede para calcular integralOmega z^2,dV, onde Omega é a casca esférica entre as esferas x^2+y^2+z^2=1 e x^2+y^2+z^2=4. Vamos usar coordenadas esféricas, pois a região é naturalmente descrita em termos de raio r e ângulos.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, temos as seguintes relações:
z = rcosvarphi,
dV = r^2sinvarphi,dr,dvarphi,dtheta.
Logo,
z^2 = r^2cos^2varphie dV = r^2sinvarphi,dr,dvarphi,dtheta

Passo 3

Os limites de integração são:
r varia de 1 a 2,
varphi varia de 0 a pi,
theta varia de 0 a 2pi.
Assim o integral vira
integraltheta=0^2piintegralvarphi=0^piintegralr=1^2 (r^2cos^2varphi),(r^2sinvarphi),dr,dvarphi,dtheta
Agrupando,
integral0^2pidtheta;integral0^picos^2varphisinvarphi,dvarphi;integral1^2r^4,dr

Passo 4

Agora calculamos cada parte:
  1. integral0^2pidtheta = 2pi
  2. Fazendo u=cosvarphi, du=-sinvarphi,dvarphi,
integral0^picos^2varphisinvarphi,dvarphi = integralu=1^-1u^2(-du) = integral-1^1u^2,du = 23
3)
integral1^2r^4,dr = l[tfracr^55r]1^2 = 32-15 = 315
Multiplicando tudo:
2pi times 23 times 315 = 124pi15

Resposta

integralOmega z^2,dV = 124pi15

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