Use o teste da comparação para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty n^2n^3+1

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da comparação direta e determinar se a série sumn=1^infty n^2n^3+1 converge ou diverge. O conteúdo é séries de termos positivos e vamos precisar lembrar do teste de comparação direta para séries não-negativas.

Passo 2

O teste de comparação direta diz que, se encontrarmos outra série de termos bn tal que 0 <= bn <= an e sum bn diverge, então sum an também diverge. Aqui temos an = n^2n^3+1. Vamos buscar um bn simples, de fácil análise.

Passo 3

Para todo n >= 1, temos n^3 + 1 <= 2,n^3. Tomando recíprocos (tudo positivo),
1n^3+1 >= 12,n^3,
Multiplicando ambos os lados por n^2,
n^2n^3+1 >= n^22,n^3 = 12,n,

Passo 4

Logo podemos comparar an com bn = 12n. Como an >= bn e a série sumn=1^infty 12n = tfrac12sumn=1^infty 1n diverge (é a série harmônica multiplicada por 1/2), então sum an também diverge.

Resposta

A série diverge.

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