Use as regras de derivação para provar que:
se

Passo 1

A questão pede para mostrar que, usando regras de derivação, se f(x)=tan x então f′(x)=sec² x. O conteúdo aqui é derivada de função tangente, e vamos precisar das derivadas de sin x e cos x e da regra do quociente.

Passo 2

Lembrando a regra do quociente: se temos duas funções g(x) e h(x), então
l(g(x)h(x)r)'=g'(x),h(x)-g(x),h'(x)[h(x)]^2
Neste caso, tomamos g(x)=sin x e h(x)=cos x.

Passo 3

Calculamos as derivadas individuais:
  • g’(x)= (sin x)’ = cos x
  • h’(x)= (cos x)’ = −sin x

Passo 4

Aplicando a regra do quociente em f(x)=tan x=sin x/cos x, obtemos:
f'(x)=(cos x)(cos x)-(sin x)(-sin x)(cos x)^2

Passo 5

No numerador, cos x·cos x − sin x·(−sin x) = cos² x + sin² x. Como sabemos que cos² x + sin² x = 1, temos:
f'(x)=1(cos x)^2=sec^2 x

Resposta

f'(x)=sec^2 x

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