Use as regras de derivação para provar que:
se
Passo 1
A questão pede para mostrar que, usando regras de derivação, se f(x)=tan x então f′(x)=sec² x. O conteúdo aqui é derivada de função tangente, e vamos precisar das derivadas de sin x e cos x e da regra do quociente.
Passo 2
Lembrando a regra do quociente: se temos duas funções g(x) e h(x), então
Neste caso, tomamos g(x)=sin x e h(x)=cos x.
Passo 3
Calculamos as derivadas individuais:
- g’(x)= (sin x)’ = cos x
- h’(x)= (cos x)’ = −sin x
Passo 4
Aplicando a regra do quociente em f(x)=tan x=sin x/cos x, obtemos:
Passo 5
No numerador, cos x·cos x − sin x·(−sin x) = cos² x + sin² x. Como sabemos que cos² x + sin² x = 1, temos: