Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+y=f(t), y(0)=1, y^prime(0)=0, onde ll1 & , em[0, pi) 0 & , em[pi, 2 pi)$

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem não homogênea y'' + y = f(t) com condição inicial y(0)=1, y'(0)=0 e força periódica por partes f(t)=1 em [0,pi), zero em [pi,2pi) e f(t+2pi)=f(t). Vamos usar a forma geral da solução via integral de Duhamel.

Passo 2

Para equações do tipo y'' + y = f(t), a solução geral com condições em t=0 é
y(t) = Acos t + Bsin t + integral0^t f(s),sin(t - s),ds,
onde A e B vêm de y(0)=A=1 e y'(0)= -Asin0 + Bcos0 + f(0) = B + 1 = 0, logo B=-1.

Passo 3

Para 0 <= t < pi, temos f(s)=1 em todo [0,t], então
integral0^t sin(t-s),ds = integral0^t sin u,du = 1 - cos t
Assim
y(t) = cos t - sin t + (1 - cos t) = 1 - sin t, \nválido para 0 <= t < pi.

Passo 4

Para pi <= t < 2pi, a força age só em [0,pi], pois f(s)=0 para s>pi. Assim
integral0^t f(s)sin(t-s),ds = integral0^pi sin(t-s),ds = cos(t-pi) - cos t = -2cos t
Logo
y(t) = cos t - sin t - 2cos t = -cos t - sin t,
válido para pi <= t < 2pi.

Passo 5

Podemos estender esse resultado por continuidade periódica de f. Mas, dentro do primeiro período, a solução fica piecewise conforme obtido.

Resposta

y(t)= 1 - sin t, &0 <= t < pi, -cos t - sin t, &pi <= t < 2pi

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