Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1} \frac{2}{n{3}+\mathrm{e}{n}}
Passo 1
Resumo do enunciado e do que vamos usar: temos a série alternada. O conteúdo é séries infinitas, vamos usar o teste de Leibniz para verificar convergência condicional e depois o teste de convergência absoluta via comparação.
Passo 2
Verificação das condições do teste de Leibniz: definimos . Observamos que para todo , , que é crescente com (logo é decrescente) e que
Passo 3
Como é positiva, decrescente e tende a zero, pelo teste de Leibniz a série alternada converge.
Passo 4
Teste de convergência absoluta: analisamos a série de termos positivos
Passo 5
Comparação com série geométrica: para todo n vale
n^3+e^n>= e^n, portanto
2n^3+e^n<= 2e^-n
Passo 6
Como sumn=1^infty2e^-n é convergente (série geométrica de razão e^-1<1), concluímos que
sumn=1^infty2n^3+e^n
converge. Logo a série original converge absolutamente.
Resposta
(a) A série é absolutamente convergente (e portanto convergente). (b) A série de termos positivos sumn=1^infty2n^3+e^n é convergente.