Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1} \frac{2}{n{3}+\mathrm{e}{n}}

Passo 1

Resumo do enunciado e do que vamos usar: temos a série alternada sumn=1^infty(-1)^n-12n^3+e^n. O conteúdo é séries infinitas, vamos usar o teste de Leibniz para verificar convergência condicional e depois o teste de convergência absoluta via comparação.

Passo 2

Verificação das condições do teste de Leibniz: definimos an=2n^3+e^n. Observamos que para todo n, an>0, que n^3+e^n é crescente com n (logo an é decrescente) e que
limntoinftyan=limntoinfty2n^3+e^n=0

Passo 3

Como an é positiva, decrescente e tende a zero, pelo teste de Leibniz a série alternada converge.

Passo 4

Teste de convergência absoluta: analisamos a série de termos positivos
sumn=1^infty|(-1)^n-12n^3+e^n|=sumn=1^infty2n^3+e^n

Passo 5

Comparação com série geométrica: para todo n vale
n^3+e^n>= e^n, portanto
2n^3+e^n<= 2e^-n

Passo 6

Como sumn=1^infty2e^-n é convergente (série geométrica de razão e^-1<1), concluímos que
sumn=1^infty2n^3+e^n
converge. Logo a série original converge absolutamente.

Resposta

(a) A série é absolutamente convergente (e portanto convergente). (b) A série de termos positivos sumn=1^infty2n^3+e^n é convergente.

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