Calcule as integrais usando coordenadas esféricas
.
Passo 1
O enunciado pede
que é o integral de
sobre a parte da esfera
com
. Vamos usar coordenadas esféricas alinhadas com o eixo
.
Passo 2
Definimos
com
,
,
. Então
A condição
vira
, i.e.
.
Passo 3
O integrando
. Logo
com
Passo 4
Note que
se e só se
, i.e.
. Para
vale
. Por simetria em
nos dois pedaços externos,
Passo 5
Calcule
.
- Para
:
, então Logo a parcela externa é Fazendo , obtemos , resultando em
- Para
:
, dando parcela interna
Passo 6
Somando as partes: