Calcule as integrais usando coordenadas esféricas
integral-2^2 integral-raiz4^2-x^2^raiz4^2-x^2 integral-raiz4^2-x^2-y^2^raiz4^2-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d z d x d y.

Passo 1

O enunciado pede
I=integralx=-2^2integraly=-raiz16-x^2^raiz16-x^2integralz=-raiz16-x^2-y^2^raiz16-x^2-y^2l(x^2+y^2+z^2r)^3/2,dz,dy,dx,
que é o integral de l(x^2+y^2+z^2r)^3/2 sobre a parte da esfera x^2+y^2+z^2<=16 com -2<= x<=2. Vamos usar coordenadas esféricas alinhadas com o eixo x.

Passo 2

Definimos
x=rhocosphi, y=rhosinphicostheta, z=rhosinphisintheta,
com rho>=0, phiin[0,pi], thetain[0,2pi]. Então
x^2+y^2+z^2=rho^2, dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
A condição -2<= x<=2 vira |rhocosphi|<=2, i.e. rho<=2|cosphi|.

Passo 3

O integrando l(x^2+y^2+z^2r)^3/2=(rho^2)^3/2=rho^3. Logo
I =integral0^2pi!integral0^pi!integral0^rmax(phi) rho^3;rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta =integral0^2pi!integral0^pi!integral0^rmax(phi)rho^5sinphi,drho,dphi,dtheta,
com
rmax(phi)=minl(4,;tfrac2|cosphi|r)

Passo 4

Note que tfrac2|cosphi|<=4 se e só se |cosphi|>=tfrac12, i.e. phiin[0,tfracpi3]cup[tfrac2pi3,pi]. Para phiin[tfracpi3,tfrac2pi3] vale rmax=4. Por simetria em phi nos dois pedaços externos,
I =2pil[ 2!integral0^pi/3!integral0^2cosphirho^5sinphi,drho,dphi ;+!integralpi/3^2pi/3!integral0^4rho^5sinphi,drho,dphi r]

Passo 5

Calcule integral0^Arho^5,drho=tfracA^66.
  • Para phiin[0,pi/3]:
    ;A=tfrac2cosphi, então integral0^2cosphirho^5,drho =(2/cosphi)^66 =646sec^6!phi =323sec^6!phi Logo a parcela externa é 2picdot2integral0^pi/3 sinphi,323sec^6!phi,dphi =128pi3integral0^pi/3sinphisec^6!phi,dphi Fazendo u=secphi, obtemos integral1^2u^4,du=tfrac315, resultando em
    3968pi15
  • Para phiin[pi/3,2pi/3]:
    ;A=4, integral0^4rho^5,drho=4^66=40966=20483, integralpi/3^2pi/3sinphi,dphi=1, dando parcela interna 2picdot20483= 4096pi3

Passo 6

Somando as partes:
I =3968pi15+4096pi3 =3968pi+20480pi15 =24448pi15

Resposta

24448pi15

Exercícios relacionados