Calcule a integral de linha, onde gamma é a curva dada.
integralgamma y^3 d s, gamma: x=t^3, y=t, t in[0,2],

Passo 1

Aqui a gente tem uma integral de linha de uma função escalar: calcular integralgammay^3,ds. O conteúdo é integral de linha de escalares, e a gente vai precisar parametrizar a curva, calcular o elemento de arco ds e colocar tudo numa única integral em t. A curva é dada por x=t^3, y=t, tin[0,2].

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas da parametrização: dx/dt=3t^2 e dy/dt=1. O elemento de arco é
ds=raizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2,dt=raiz9t^4+1,dt

Passo 3

Agora substituímos na integral original:
integralgammay^3,ds=integral0^2t^3raiz9t^4+1,dt,
transformando a integral de linha numa integral em t.

Passo 4

Para resolver, fazemos a troca de variável u=9t^4+1, de onde du=36t^3,dt (logo t^3,dt=du/36) e os limites viram u(0)=1, u(2)=145. Assim:
integral0^2t^3raiz9t^4+1,dt=136integral1^145u^1/2,du=136cdot23l[u^3/2r]1^145=154l(145^3/2-1r)

Resposta

145raiz145-154

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