Calcule as integrais usando coordenadas polares. Esboce a região de integração. \iint_{D}(2 x-y) d A, D é a região do primeiro quadrante limitada por x^{2}+y^{2}=4 e as retas x=0 e y=x.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral dupla
\iint_{D} (2x-y)\,dA
onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^{2}+y^{2}=4 e pelas retas x=0 e y=x. Além do cálculo, é pedido um esboço (descrição) da região de integração. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A fronteira curva é x^{2}+y^{2}=4, isto é, círculo de raio 2 centrado na origem.
As retas que limitam são x=0 (eixo y, vertical) e y=x (reta a 45^\circ no primeiro quadrante).
A região está no primeiro quadrante (ou seja, x\ge0 e y\ge0).
Passo 2
Vou usar coordenadas polares. Primeiro, uma rapidinha didática sobre elas:
Em coordenadas polares um ponto no plano é dado por (r,\theta), onde r\ge0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo x.
As relações entre retangulares e polares são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
A diferencial de área em polares é dA = r\,dr\,d\theta. Motivação informal: um pequeno retângulo polar tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é dr\cdot (r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. Esse fator r é chamado de jacobiano da transformação polares → cartesianas.
Passo 3
Agora identifico a região D em polares (isto é importante para os limites de integração):
A curva x^{2}+y^{2}=4 vira r^{2}=4, logo r=2.
A reta x=0 (eixo y positivo) corresponde ao ângulo \theta=\tfrac{\pi}{2} no primeiro quadrante.
A reta y=x corresponde a \theta=\tfrac{\pi}{4}.
Como estamos no primeiro quadrante entre essas duas retas, o ângulo varia de \theta=\tfrac{\pi}{4} até \theta=\tfrac{\pi}{2}.
Esboço (descrição): é um setor circular do círculo de raio 2, no primeiro quadrante, limitado entre a reta y=x (45°) e o eixo y (90°). Visualize um “pedaço de pizza” com raio 2 entre esses ângulos.
Passo 4
Substituo o integrando e a diferencial de área em coordenadas polares: