Calcule as integrais usando coordenadas polares. Esboce a região de integração.
\iint_{D}(2 x-y) d A, D é a região do primeiro quadrante limitada por x^{2}+y^{2}=4 e as retas x=0 e y=x.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral dupla
\iint_{D} (2x-y)\,dA
onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^{2}+y^{2}=4 e pelas retas x=0 e y=x. Além do cálculo, é pedido um esboço (descrição) da região de integração. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A fronteira curva é x^{2}+y^{2}=4, isto é, círculo de raio 2 centrado na origem.
  • As retas que limitam são x=0 (eixo y, vertical) e y=x (reta a 45^\circ no primeiro quadrante).
  • A região está no primeiro quadrante (ou seja, x\ge0 e y\ge0).

Passo 2

Vou usar coordenadas polares. Primeiro, uma rapidinha didática sobre elas:
  • Em coordenadas polares um ponto no plano é dado por (r,\theta), onde r\ge0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo x.
  • As relações entre retangulares e polares são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
  • A diferencial de área em polares é dA = r\,dr\,d\theta. Motivação informal: um pequeno retângulo polar tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é dr\cdot (r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. Esse fator r é chamado de jacobiano da transformação polares → cartesianas.

Passo 3

Agora identifico a região D em polares (isto é importante para os limites de integração):
  • A curva x^{2}+y^{2}=4 vira r^{2}=4, logo r=2.
  • A reta x=0 (eixo y positivo) corresponde ao ângulo \theta=\tfrac{\pi}{2} no primeiro quadrante.
  • A reta y=x corresponde a \theta=\tfrac{\pi}{4}.
  • Como estamos no primeiro quadrante entre essas duas retas, o ângulo varia de \theta=\tfrac{\pi}{4} até \theta=\tfrac{\pi}{2}.
  • E r vai de 0 até 2.
Portanto, em polares a região é
\{(r,\theta)\mid 0\le r\le 2,\\ \tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\}.
Esboço (descrição): é um setor circular do círculo de raio 2, no primeiro quadrante, limitado entre a reta y=x (45°) e o eixo y (90°). Visualize um “pedaço de pizza” com raio 2 entre esses ângulos.

Passo 4

Substituo o integrando e a diferencial de área em coordenadas polares:
  • x = r\cos\theta e y = r\sin\theta, então
2x - y = 2(r\cos\theta) - (r\sin\theta) = r(2\cos\theta - \sin\theta).
  • Multiplicando por dA = r\,dr\,d\theta obtemos o integrando em polares:
(2x-y)\,dA = r(2\cos\theta-\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta = r^{2}(2\cos\theta-\sin\theta)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Escrevo a integral dupla em polares com os limites que encontrei:
\iint_{D} (2x-y)\,dA = \int_{\theta=\pi/4}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2} r^{2}(2\cos\theta-\sin\theta)\,dr\,d\theta.
Aqui integro primeiro em r (porque o integrando separa multiplicativamente r-dependência e \theta-dependência), depois em \theta.

Passo 6

Faço a integral interna em r:
\int_{0}^{2} r^{2}(2\cos\theta-\sin\theta)\,dr = (2\cos\theta-\sin\theta)\int_{0}^{2} r^{2}\,dr.
Calculo \int_{0}^{2} r^{2}\,dr = \left.\dfrac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{2} = \dfrac{8}{3}.
Logo a integral reduz para
\frac{8}{3}\int_{\pi/4}^{\pi/2} (2\cos\theta-\sin\theta)\,d\theta.

Passo 7

Agora calcule a integral em \theta. Primeiro encontro primitivais:
\int (2\cos\theta-\sin\theta)\,d\theta = 2\sin\theta + \cos\theta + C,
pois \int \cos\theta\,d\theta=\sin\theta e \int -\sin\theta\,d\theta=\cos\theta.
Avalio de \theta=\tfrac{\pi}{4} a \tfrac{\pi}{2}:
\left[2\sin\theta+\cos\theta\right]_{\pi/4}^{\pi/2} = \big(2\sin\frac{\pi}{2}+\cos\frac{\pi}{2}\big) - \big(2\sin\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{4}\big).
Compute valores trigonométricos: \sin\frac{\pi}{2}=1,\\ \cos\frac{\pi}{2}=0,\\ \sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Então
= \big(2\cdot 1 + 0\big) - \left(2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2 - \left(\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2 - \frac{3\sqrt{2}}{2}.

Passo 8

Multiplico pelo fator \dfrac{8}{3} que ficou fora:
\iint_{D}(2x-y)\,dA = \frac{8}{3}\left(2 - \frac{3\sqrt{2}}{2}\right).
Simplifico:
\frac{8}{3}\cdot 2 = \frac{16}{3},\qquad \frac{8}{3}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}.
Portanto o resultado final é
\frac{16}{3} - 4\sqrt{2}.

Resposta

\dfrac{16}{3} - 4\sqrt{2}\n
Região: setor circular no primeiro quadrante com 0\le r\le 2 e \dfrac{\pi}{4}\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}.

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