Calcule as integrais usando coordenadas polares. Esboce a região de integração.
\iint_{D} x y d A, D é a região do primeiro quadrante entre os círculos x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=25.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral dupla
\iint_{D} x y \, dA,
onde D é a região do primeiro quadrante entre os círculos \,x^{2}+y^{2}=4 e \,x^{2}+y^{2}=25.\n
Informações importantes que o enunciado dá:
  • A integranda é x y.\n
  • A região D é o anel (coroa circular) entre os círculos de raio 2 e 5, mas restrito ao primeiro quadrante (ou seja, só x\ge0 e y\ge0).\n
  • O enunciado exige o uso de coordenadas polares e que eu esboce a região.\n

Passo 2

Por que usar coordenadas polares aqui? Simples: a região é descrita facilmente por raios e ângulos (círculos são r= constante). Vou relembrar as fórmulas de conversão e o elemento de área em polares, explicando por que aparece um fator r (isso é o Jacobiano).\n
  • Conversão para polares: \,x = r\cos\theta e \,y = r\sin\theta, onde r\ge0 é a distância à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.\n
  • Elemento de área: em coordenadas polares o elemento de área diferencial é \,dA = r\,dr\,d\theta.\n
    Explicação do r: um pequeno retângulo em coordenadas (r,\theta) tem um lado aproximado de comprimento dr (variação radial) e o outro lado é a variação ao longo da circunferência, que vale aproximadamente r\,d\theta. Assim a área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta.\n

Passo 3

Transformo a integranda e escolho os limites em polares.\n
  • A integranda x y fica
x y = (r\cos\theta)(r\sin\theta)=r^{2}\cos\theta\sin\theta.
  • Multiplicando pelo Jacobiano r obtemos o integrando em polares
r^{2}\cos\theta\sin\theta\cdot r = r^{3}\cos\theta\sin\theta.
  • Limites da região D: como é o anel entre os círculos de raio 2 e 5, temos 2\le r\le 5. Como é o primeiro quadrante, \theta varia de 0 até \tfrac{\pi}{2}.\n
    Portanto a integral em polares é
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=2}^{5} r^{3}\cos\theta\sin\theta \, dr\,d\theta.

Passo 4

Faço a integral interna em r. Aqui a variável \theta é tratada como constante nesse passo.\n
Calculo
\int_{r=2}^{5} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{2}^{5}=\frac{5^{4}-2^{4}}{4}.
Agora avalio as potências: 5^{4}=625 e 2^{4}=16. Então
\frac{5^{4}-2^{4}}{4}=\frac{625-16}{4}=\frac{609}{4}.
Logo a integral fica agora
\left(\frac{609}{4}\right)\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta \, d\theta.

Passo 5

Agora faço a integral em \theta. Uma maneira direta é usar a substituição u=\sin\theta, porque du=\cos\theta\,d\theta.\n
Com isso
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta \, d\theta = \int_{u=\sin 0}^{\sin(\pi/2)} u\,du = \int_{0}^{1} u\,du = \left.\frac{u^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
(ou lembrar que \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, então \sin\theta\cos\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta) e integrar dá o mesmo resultado \tfrac{1}{2}).\n

Passo 6

Multiplico os resultados dos dois passos:\n
\left(\frac{609}{4}\right)\cdot\frac{1}{2}=\frac{609}{8}.
Posso também dar o valor decimal (só para intuição): \frac{609}{8}=76{,}125, mas a forma fracionária \frac{609}{8} é mais limpa.\n

Passo 7

Esboço e descrição da região (explicação de como desenhar, para você fazer rápido na prova):\n
  • Desenhe o sistema de eixos e marque os círculos centrados na origem com raios 2 e 5.\n
  • Como é só o primeiro quadrante, mantenha apenas a parte desses círculos com x\ge0 e y\ge0. O domínio é a “fatia” de anel entre r=2 e r=5 com ângulo de 0 a \tfrac{\pi}{2}.\n
  • Pontos-chave: (2,0), (5,0) no eixo x e (0,2), (0,5) no eixo y.\n
    Esse esboço mostra claramente porque usamos \,2\le r\le5 e \,0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}.\n
    Força aí — você já sabe transformar, montar os limites e integrar. Na prova faça o desenho rápido, troque para polares, separe a integral em r e \theta e resolva como fizemos.\n

Resposta

\dfrac{609}{8}

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