Calcule as integrais usando coordenadas polares. Esboce a região de integração. \iint_{D} x y d A, D é a região do primeiro quadrante entre os círculos x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=25.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral dupla
\iint_{D} x y \, dA,
onde D é a região do primeiro quadrante entre os círculos \,x^{2}+y^{2}=4 e \,x^{2}+y^{2}=25.\n
Informações importantes que o enunciado dá:
A integranda é x y.\n
A região D é o anel (coroa circular) entre os círculos de raio 2 e 5, mas restrito ao primeiro quadrante (ou seja, só x\ge0 e y\ge0).\n
O enunciado exige o uso de coordenadas polares e que eu esboce a região.\n
Passo 2
Por que usar coordenadas polares aqui? Simples: a região é descrita facilmente por raios e ângulos (círculos são r= constante). Vou relembrar as fórmulas de conversão e o elemento de área em polares, explicando por que aparece um fator r (isso é o Jacobiano).\n
Conversão para polares: \,x = r\cos\theta e \,y = r\sin\theta, onde r\ge0 é a distância à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.\n
Elemento de área: em coordenadas polares o elemento de área diferencial é \,dA = r\,dr\,d\theta.\n
Explicação do r: um pequeno retângulo em coordenadas (r,\theta) tem um lado aproximado de comprimento dr (variação radial) e o outro lado é a variação ao longo da circunferência, que vale aproximadamente r\,d\theta. Assim a área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta.\n
Passo 3
Transformo a integranda e escolho os limites em polares.\n
A integranda x y fica
x y = (r\cos\theta)(r\sin\theta)=r^{2}\cos\theta\sin\theta.
Multiplicando pelo Jacobiano r obtemos o integrando em polares
r^{2}\cos\theta\sin\theta\cdot r = r^{3}\cos\theta\sin\theta.
Limites da região D: como é o anel entre os círculos de raio 2 e 5, temos 2\le r\le 5. Como é o primeiro quadrante, \theta varia de 0 até \tfrac{\pi}{2}.\n
Portanto a integral em polares é
(ou lembrar que \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, então \sin\theta\cos\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta) e integrar dá o mesmo resultado \tfrac{1}{2}).\n
Posso também dar o valor decimal (só para intuição): \frac{609}{8}=76{,}125, mas a forma fracionária \frac{609}{8} é mais limpa.\n
Passo 7
Esboço e descrição da região (explicação de como desenhar, para você fazer rápido na prova):\n
Desenhe o sistema de eixos e marque os círculos centrados na origem com raios 2 e 5.\n
Como é só o primeiro quadrante, mantenha apenas a parte desses círculos com x\ge0 e y\ge0. O domínio é a “fatia” de anel entre r=2 e r=5 com ângulo de 0 a \tfrac{\pi}{2}.\n
Pontos-chave: (2,0), (5,0) no eixo x e (0,2), (0,5) no eixo y.\n
Esse esboço mostra claramente porque usamos \,2\le r\le5 e \,0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}.\n
Força aí — você já sabe transformar, montar os limites e integrar. Na prova faça o desenho rápido, troque para polares, separe a integral em r e \theta e resolva como fizemos.\n