Represente graficamente as curvas polares a seguir.
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
e pede que a representemos graficamente.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão de
como função de é . - Não há restrição explícita no domínio de
, então usamos para desenhar a curva completa. - A tarefa é traçar a curva no plano polar (ou seja, encontrar a forma, posições das pétalas, zeros e pontos de máximo).
Passo 2
Relembrando o que é necessário para desenhar em coordenadas polares (aula rápida):
- Um ponto polar é dado por
, onde é a distância ao polo (origem) e é o ângulo medido a partir do eixo polar (eixo positivo). - Para passar para coordenadas cartesianas usamos
- Se em alguma
a expressão der negativa, isso significa que o ponto fica na direção oposta: com é o mesmo ponto que com . Em desenho prático, quando fica negativo “viramos” o vetor em radianos.
Passo 3
Propriedades gerais da família
que vamos usar (mini-aula):
- O máximo absoluto de
é porque . Então as pétalas têm comprimento máximo . - O número de pétalas depende de
: - Se
é ímpar, a rosa tem exatamente pétalas. - Se
é par, a rosa tem pétalas.
Isso vem do fato de quecompleta seus sinais positivos/negativos em intervalos que geram sobreposição ou não quando varia de a .
- Se
- Zeros ocorrem quando
, ou seja quando . - Máximos (ponta das pétalas,
) ocorrem quando .
Passo 4
Aplicando as propriedades ao caso
:
- Aqui
e . - Como
é ímpar, teremos exatamente pétalas. - Comprimento (raio) máximo de cada pétala é
. - Zeros (valores de
onde ): Dentro de isso dá (seis raios onde a curva cruza o polo). - Pontas das pétalas (máximos
) quando Tomando em obtemos as três direções das pétalas: Ou seja, as pétalas estão centradas aproximadamente em , e .
Passo 5
Cálculo de alguns pontos-chave para desenhar (tabelinha prática):
-
(origem). -
. -
(ponta da pétala; coordenadas cartesianas do topo: , → ponto ). -
(volta ao polo). -
. Interpretando: ponto com na direção (isto é a ponta em ): coord. . -
(ponta; coordenadas: ).
Esses pontos mostram claramente as três pétalas e sua posição.
Passo 6
Como desenhar passo a passo (o “faça você mesmo” para a prova):
- Desenhe os eixos polares (eixo
em ) e marque raios para (cada ) — em particular marcamos (cada ) onde . - Marque círculos concêntricos de raio
e (a ponta das pétalas fica em ). - Entre
e a função é positiva, então o gráfico cresce do polo até a ponta em com e volta ao polo em — isso forma uma pétala entre e . - Entre
e a função é negativa, então os pontos têm e aparecem refletidos — isso corresponde, quando desenhado de forma contínua para crescente, à formação das outras pétalas (mas é mais fácil seguir as regiões de para desenhar diretamente as pétalas positivas). - Repita para os intervalos positivos de
: . Cada intervalo gera uma pétala com ponta nos ângulos calculados em
Passo 7
- Ligeiramente suavize entre pontos para formar pétalas ovais simétricas com máximo em
.
Passo 8
Observações geométricas e simetria (úteis para conferir o desenho):
- A curva tem simetria rotacional de período
(porque ). - As pétalas são idênticas por rotação de
. - A curva não é simétrica em relação ao eixo
exatamente, porque há um deslocamento: as pétalas ficam centradas em (não em ). Isso vem do fator (se fosse as pétalas estariam centradas em ).
Resposta
Rosa de
pétalas dada por
.
Cada pétala tem comprimento máximo .
ZerOs em para
.
Pontos máximos (pontas das pétalas) em (coordenadas das pontas:
).
Cada pétala tem comprimento máximo
ZerOs em
Pontos máximos (pontas das pétalas) em