Represente graficamente as curvas polares a seguir.
r=2 \operatorname{sen} 3 \theta

Passo 1

O enunciado dá a curva polar
r=2\sin(3\theta)
e pede que a representemos graficamente.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão de r como função de \theta é r(\theta)=2\sin(3\theta).
  • Não há restrição explícita no domínio de \theta, então usamos \theta\in[0,2\pi) para desenhar a curva completa.
  • A tarefa é traçar a curva no plano polar (ou seja, encontrar a forma, posições das pétalas, zeros e pontos de máximo).

Passo 2

Relembrando o que é necessário para desenhar em coordenadas polares (aula rápida):
  • Um ponto polar é dado por (r,\theta), onde r é a distância ao polo (origem) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo polar (eixo x positivo).
  • Para passar para coordenadas cartesianas usamos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
  • Se em alguma \theta a expressão r(\theta) der negativa, isso significa que o ponto fica na direção oposta: (r,\theta) com r<0 é o mesmo ponto que (-r,\theta+\pi) com -r>0. Em desenho prático, quando r fica negativo “viramos” o vetor em \pi radianos.

Passo 3

Propriedades gerais da família r=a\sin(n\theta) que vamos usar (mini-aula):
  • O máximo absoluto de r é |a| porque |\sin|\le1. Então as pétalas têm comprimento máximo |a|.
  • O número de pétalas depende de n:
    • Se n é ímpar, a rosa tem exatamente n pétalas.
    • Se n é par, a rosa tem 2n pétalas.
      Isso vem do fato de que \sin(n\theta) completa seus sinais positivos/negativos em intervalos que geram sobreposição ou não quando \theta varia de 0 a 2\pi.
  • Zeros ocorrem quando \sin(n\theta)=0, ou seja quando n\theta=k\pi\Rightarrow \theta=k\pi/n.
  • Máximos (ponta das pétalas, r=+|a|) ocorrem quando n\theta=\pi/2+2k\pi\Rightarrow \theta=\pi/(2n)+2k\pi/n.

Passo 4

Aplicando as propriedades ao caso r=2\sin(3\theta):
  • Aqui a=2 e n=3.
  • Como n=3 é ímpar, teremos exatamente 3 pétalas.
  • Comprimento (raio) máximo de cada pétala é |a|=2.
  • Zeros (valores de \theta onde r=0): 3\theta=k\pi \Rightarrow \theta=\frac{k\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.Dentro de [0,2\pi) isso dá \theta=0,\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3} (seis raios onde a curva cruza o polo).
  • Pontas das pétalas (máximos r=2) quando 3\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}.Tomando k=0,1,2 em [0,2\pi) obtemos as três direções das pétalas: \theta=\frac{\pi}{6},\quad \theta=\frac{5\pi}{6},\quad \theta=\frac{3\pi}{2}.Ou seja, as pétalas estão centradas aproximadamente em 30^\circ, 150^\circ e 270^\circ.

Passo 5

Cálculo de alguns pontos-chave para desenhar (tabelinha prática):
  • \theta=0\Rightarrow r=0 (origem).
  • \theta=\frac{\pi}{12}\\ (15^\circ)\Rightarrow 3\theta=\frac{\pi}{4},\\ \sin=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow r=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\approx1{,}414.
  • \theta=\frac{\pi}{6}\\ (30^\circ)\Rightarrow r=2 (ponta da pétala; coordenadas cartesianas do topo: x=2\cos\frac{\pi}{6}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}, y=2\sin\frac{\pi}{6}=2\cdot\frac{1}{2}=1 → ponto (\sqrt{3},1)).
  • \theta=\frac{\pi}{3}\\ (60^\circ)\Rightarrow r=0 (volta ao polo).
  • \theta=\frac{\pi}{2}\\ (90^\circ)\Rightarrow 3\theta=\frac{3\pi}{2},\\ \sin=-1\Rightarrow r=-2. Interpretando: ponto com r=2 na direção \theta+\pi=\frac{3\pi}{2} (isto é a ponta em 270^\circ): coord. (0,-2).
  • \theta=\frac{5\pi}{6}\\ (150^\circ)\Rightarrow r=2 (ponta; coordenadas: x=-\sqrt{3},\\ y=1).
    Esses pontos mostram claramente as três pétalas e sua posição.

Passo 6

Como desenhar passo a passo (o “faça você mesmo” para a prova):
  1. Desenhe os eixos polares (eixo 0 em \theta=0) e marque raios para \theta=k\pi/6 (cada 30^\circ) — em particular marcamos \theta=k\pi/3 (cada 60^\circ) onde r=0.
  2. Marque círculos concêntricos de raio 1 e 2 (a ponta das pétalas fica em r=2).
  3. Entre \theta=0 e \theta=\frac{\pi}{3} a função \sin(3\theta) é positiva, então o gráfico cresce do polo até a ponta em \theta=\frac{\pi}{6} com r=2 e volta ao polo em \theta=\frac{\pi}{3} — isso forma uma pétala entre \theta=0 e \theta=\frac{\pi}{3}.
  4. Entre \frac{\pi}{3} e \frac{2\pi}{3} a função é negativa, então os pontos têm r<0 e aparecem refletidos — isso corresponde, quando desenhado de forma contínua para \theta crescente, à formação das outras pétalas (mas é mais fácil seguir as regiões de \sin(3\theta)>0 para desenhar diretamente as pétalas positivas).
  5. Repita para os intervalos positivos de \sin(3\theta): \left(0,\frac{\pi}{3}\right),\\ \left(\frac{2\pi}{3},\pi\right),\\ \left(\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right). Cada intervalo gera uma pétala com ponta nos ângulos calculados em

Passo 7

  1. Ligeiramente suavize entre pontos para formar pétalas ovais simétricas com máximo em r=2.

Passo 8

Observações geométricas e simetria (úteis para conferir o desenho):
  • A curva tem simetria rotacional de período \frac{2\pi}{3} (porque \sin(3(\theta+2\pi/3))=\sin(3\theta+2\pi)=\sin(3\theta)).
  • As pétalas são idênticas por rotação de 120^\circ.
  • A curva não é simétrica em relação ao eixo \theta=0 exatamente, porque há um deslocamento: as pétalas ficam centradas em \theta=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2} (não em 0,\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}). Isso vem do fator \sin (se fosse \cos(3\theta) as pétalas estariam centradas em \theta=0,\frac{2\pi}{3},\ldots).

Resposta

Rosa de 3 pétalas dada por r=2\sin(3\theta).
Cada pétala tem comprimento máximo 2.
ZerOs em \theta=\dfrac{k\pi}{3} para k=0,1,\dots,5.
Pontos máximos (pontas das pétalas) em \theta=\dfrac{\pi}{6},\\ \dfrac{5\pi}{6},\\ \dfrac{3\pi}{2} (coordenadas das pontas: (\sqrt{3},1),\\ (-\sqrt{3},1),\\ (0,-2)).

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