Calcule as integrais usando coordenadas polares
, onde
é a região limitada pelo semicírculo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o semicírculo descrito por
. O conteúdo aqui é o uso de coordenadas polares para transformar uma integral sobre uma região circular (ou metade dela) em algo mais simples. Vamos precisar lembrar que em coordenadas polares
e que
.
Passo 2
Identificamos que
é o semidisco de raio
no semiplano
. Em coordenadas polares isso corresponde a
Passo 3
Substituímos na integral:
Passo 4
Calculamos primeiro a integral em
:
Fazendo a substituição
,
, obtemos
Passo 5
Agora integramos em
:
Passo 6
Multiplicando os resultados de
e
, concluímos que