Calcule as integrais usando coordenadas polares
integral duplaD e^-x^2-y^2 d A, onde D é a região limitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD e^-x^2-y^2,dA,
onde D é o semicírculo descrito por x = raiz4 - y^2. O conteúdo aqui é o uso de coordenadas polares para transformar uma integral sobre uma região circular (ou metade dela) em algo mais simples. Vamos precisar lembrar que em coordenadas polares
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
e que x^2+y^2=r^2.

Passo 2

Identificamos que D é o semidisco de raio 2 no semiplano x>=0. Em coordenadas polares isso corresponde a
0 <= r <= 2, -tfracpi2 <= theta <= tfracpi2

Passo 3

Substituímos na integral:
integral duplaD e^-x^2-y^2,dA = integraltheta=-pi/2^pi/2integralr=0^2 e^-r^2;r,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
integral0^2 e^-r^2,r,dr
Fazendo a substituição u=r^2, du=2r,dr, obtemos
integral0^2 e^-r^2,r,dr =12integralu=0^4 e^-u,du =12l[ -e^-ur]0^4 =12l(1 - e^-4r)

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral-pi/2^pi/2 dtheta = pi

Passo 6

Multiplicando os resultados de r e theta, concluímos que
integral duplaD e^-x^2-y^2,dA =pi ;times;12l(1 - e^-4r) =pi2l(1 - e^-4r)

Resposta

pi2l(1 - e^-4r)

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