Verifique a continuidade em x=0 de f(x)=ln (1+x)x, com f(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=ln(1+x)x, f(0)=1
é contínua em x=0. Isso significa checar se
limxto0f(x)
existe e coincide com f(0)=1. Vamos usar análise de limites e, em particular, o critério de forma indeterminada 0/0 com a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Observamos que, ao fazermos xto0, o numerador ln(1+x)toln1=0 e o denominador xto0, gerando a forma indeterminada 0/0. Pelo Teorema de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
– derivada de ln(1+x) é tfrac11+x,
– derivada de x é 1.
Assim,
limxto0ln(1+x)x =limxto0tfrac11+x1 =limxto011+x =1

Passo 3

Como
limxto0f(x)=1
e isso coincide com o valor dado f(0)=1, temos que f satisfaz a definição de continuidade em x=0.

Resposta

A função f é contínua em x=0.

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