Utilize coordenadas cilíndricas para calcular a integral:
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos calcular a integral tripla
usando coordenadas cilíndricas. O conteúdo envolve mudança de variáveis em integrais múltiplas e o uso do jacobiano.
Passo 2
Para descrever a região em coordenadas cilíndricas, note que a projeção no plano
é o disco
. Logo,
e
. Em cada ponto
, a coordenada
varia de
até
.
Passo 3
Na mudança para coordenadas cilíndricas usamos
e o elemento de volume
vira
. Assim a integral fica
Passo 4
Passo 5
O integral interno em
é
. Substituindo, obtemos
Passo 6
Passo 7
Agora calculamos
Passo 8
Por fim, integraremos em
:
. Multiplicando, o resultado final é