(2,5) Utilize coordenadas cilíndricas para calcular a integral:
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralraizx^2+y^2^2(x^2+y^2) d z d y d x

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos calcular a integral tripla integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralraizx^2+y^2^2(x^2+y^2),dz,dy,dx usando coordenadas cilíndricas. O conteúdo envolve mudança de variáveis em integrais múltiplas e o uso do jacobiano.

Passo 2

Para descrever a região em coordenadas cilíndricas, note que a projeção no plano xy é o disco x^2+y^2<= 4. Logo, rin[0,2] e thetain[0,2pi]. Em cada ponto (r,theta), a coordenada z varia de z=raizx^2+y^2=r até z=2.

Passo 3

Na mudança para coordenadas cilíndricas usamos x^2+y^2=r^2 e o elemento de volume dV=dx,dy,dz vira r,dr,dtheta,dz. Assim a integral fica

Passo 4

Passo 5

O integral interno em z é integralr^2dz=2-r. Substituindo, obtemos

Passo 6

Passo 7

Agora calculamos integral0^2(2r^3-r^4),dr=l[tfracr^42-tfracr^55r]0^2=8-tfrac325=tfrac85

Passo 8

Por fim, integraremos em theta: integral0^2pidtheta=2pi. Multiplicando, o resultado final é 2picdottfrac85=tfrac16pi5

Resposta

16pi5

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