Esboce as curvas de nível de f(x, y) para os valores dados de k :
f(x, y)=x^2+y, k=-2,-1,0,1,2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas de nível de f(x,y)=x^2+y para os valores k=-2,-1,0,1,2. O conteúdo envolve entender que cada curva de nível é o conjunto
(x,y)mid f(x,y)=k
no plano e descobrir sua forma.

Passo 2

Igualamos f(x,y)=k e isolamos y:
x^2 + y = k
y = k - x^2
Ou seja, cada nível é dada por um gráfico de parábola.

Passo 3

A forma y=k - x^2 é uma parábola com concavidade voltada para baixo, eixo de simetria em x=0 e vértice em (0,k). Variando k, a parábola apenas se desloca verticalmente.

Passo 4

Substituindo cada valor de k, obtemos as seguintes parábolas:
k=-2implies y = -x^2 - 2
k=-1implies y = -x^2 - 1
k=0implies y = -x^2
k=1implies y = -x^2 + 1
k=2implies y = -x^2 + 2
Cada uma tem vértice em (0,k) e mesma “boca” voltada para baixo.

Resposta

As curvas de nível são as parábolas
y = -x^2 - 2
y = -x^2 - 1
y = -x^2
y = -x^2 + 1
y = -x^2 + 2
com vértices em (0,-2), (0,-1), (0,0), (0,1) e (0,2), todas abrindo para baixo.

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