Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente u e d v :
\int \frac{x e^{2 x}}{1+2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \int \frac{x\,e^{2x}}{1+2x}\,dx. Vamos usar integração por partes de modo indireto: primeiro simplificamos a fração x/(1+2x) para separar em termos integráveis.

Passo 2

Fazemos a divisão
\frac{x}{1+2x} =\frac12\;\frac{2x}{1+2x} =\frac12\Bigl(1-\frac1{1+2x}\Bigr).
Logo
\int \frac{x\,e^{2x}}{1+2x}\,dx =\frac12\int e^{2x}\,dx -\frac12\int \frac{e^{2x}}{1+2x}\,dx.

Passo 3

A primeira integral é elementar:
\frac12\int e^{2x}\,dx =\frac12\cdot\frac{e^{2x}}{2} =\frac{e^{2x}}{4}.

Passo 4

Para a segunda integral fazemos a substituição
t=1+2x, \quad dt=2\,dx, \quad dx=\frac{dt}{2}, \quad e^{2x}=e^{t-1}=e^{-1}e^t.
Assim
\int \frac{e^{2x}}{1+2x}\,dx =\int \frac{e^{-1}e^t}{t}\,\frac{dt}{2} =\frac{e^{-1}}{2}\int \frac{e^t}{t}\,dt =\frac{e^{-1}}{2}\,\mathrm{Ei}(t)+C
onde \mathrm{Ei}(t) é a integral exponencial. Voltando a x:
\int \frac{e^{2x}}{1+2x}\,dx =\frac{e^{-1}}{2}\,\mathrm{Ei}(1+2x)+C.

Passo 5

Reunindo os resultados:
\int \frac{x\,e^{2x}}{1+2x}\,dx =\frac{e^{2x}}{4} -\frac12\!\biggl(\frac{e^{-1}}{2}\,\mathrm{Ei}(1+2x)\biggr)+C =\frac{e^{2x}}{4} -\frac{e^{-1}}{4}\,\mathrm{Ei}(1+2x)+C.

Resposta

\boxed{\int \frac{x\,e^{2x}}{1+2x}\,dx =\frac{e^{2x}}{4} -\frac{e^{-1}}{4}\,\mathrm{Ei}\bigl(1+2x\bigr) +C.}

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