Exercício 17. Suponha que U e W são subespaços de dimensão 5 de \mathbb{F}^{9}. Mostre que U \cap W \neq\{0\}.

Passo 1

O enunciado nos dá dois subespaços U e W de \mathbb{F}^{9}, cada um de dimensão 5, e pede para mostrar que a interseção U\cap W não é apenas o vetor nulo. O conteúdo principal aqui é a fórmula de Grassmann para dimensões de soma e interseção de subespaços em espaços vetoriais finito-dimensionais.

Passo 2

A fórmula de Grassmann afirma que, para quaisquer subespaços U e W, vale
\dim(U+W)\;=\;\dim(U)\;+\;\dim(W)\;-\;\dim(U\cap W).
Como U+W é um subespaço de \mathbb{F}^{9}, temos
\dim(U+W)\;\le\;\dim(\mathbb{F}^{9})\;=\;9.
Substituindo \dim(U)=5 e \dim(W)=5 na fórmula, obtemos
\dim(U+W)\;=\;5+5-\dim(U\cap W) \;\le\;9.

Passo 3

Da desigualdade acima segue
5+5-\dim(U\cap W)\;\le\;9 \quad\Longrightarrow\quad \dim(U\cap W)\;\ge\;10-9\;=\;1.
Como \dim(U\cap W)\ge1, a interseção U\cap W contém pelo menos um vetor não-nulo.

Resposta

Portanto, U\cap W \neq \{0\}.

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