Calcule as integrais usando integração por partes.
\int \frac{\ln (R)}{R^{2}} d R

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\ln(R)}{R^{2}}\,dR
usando o método de integração por partes. Vamos usar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(R), \quad dv = R^{-2}\,dR.
Então
du = \frac{1}{R}\,dR, \quad v = \int R^{-2}\,dR = -\frac{1}{R}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \frac{\ln(R)}{R^{2}}\,dR = u\,v - \int v\,du = \ln(R)\,\Bigl(-\frac{1}{R}\Bigr) - \int \Bigl(-\frac{1}{R}\Bigr)\,\frac{1}{R}\,dR = -\frac{\ln(R)}{R} + \int \frac{1}{R^{2}}\,dR.
A integral remanescente é
\int R^{-2}\,dR = -\frac{1}{R}.

Passo 4

Substituindo de volta:
\int \frac{\ln(R)}{R^{2}}\,dR = -\frac{\ln(R)}{R} - \frac{1}{R} + C = -\frac{\ln(R) + 1}{R} + C.

Resposta

-\frac{\ln(R) + 1}{R} + C.

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