Exercício 8. Identifique e descreva as superfícies de equações dadas. Represente graficamente.
x^{2}+y^{2}-4 x-6 y-z+12=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar a superfície dada pela equação
x^{2}+y^{2}-4x-6y - z + 12 = 0
Este é um problema de classificação de superfícies quádricas em \mathbb{R}^3. Vamos completar quadrados em x e y para chegar a uma forma padrão e daí reconhecer do que se trata.

Passo 2

Começamos agrupando termos em x e y e completando quadrados:
x^{2}-4x + y^{2}-6y - z +12 = 0.
Para x:
x^{2}-4x = (x-2)^{2} - 4.
Para y:
y^{2}-6y = (y-3)^{2} - 9.
Substituindo:
(x-2)^{2} - 4 \;+\;(y-3)^{2} - 9 \;-\; z + 12 = 0.
Agrupando as constantes -4 -9 +12 = -1, obtemos
(x-2)^{2} + (y-3)^{2} \;-\; z \;-\;1 = 0.

Passo 3

Isolando z, fica
z = (x-2)^{2} + (y-3)^{2} - 1.
Esta é a equação padrão de um paraboloide elíptico que abre para cima (direção positiva do eixo z). O vértice está em (2,3,-1) e o eixo de simetria é paralelo ao eixo z.

Passo 4

Para entender a forma, observe as curvas de nível z = k:
(x-2)^{2} + (y-3)^{2} = k + 1.
  • Se k = -1, a curva reduz-se a um ponto no vértice.
  • Se k > -1, são círculos de raio \sqrt{k+1} centrados em (2,3) no plano z=k.
    Gráfico: um “bowl” com vértice em (2,3,-1), se alargando em círculos à medida que z cresce.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico de vértice em (2,3,-1), abrindo no sentido positivo de z. No formato padrão:
z = (x-2)^{2} + (y-3)^{2} - 1.

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