Calcule as integrais usando integração por partes.
\int u \operatorname{sen}(u) \cos (u) d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int u\,\sin(u)\cos(u)\,du
usando integração por partes. Vamos aproveitar também uma identidade trigonométrica para simplificar o integrando antes de aplicar a fórmula de partes.

Passo 2

Usamos a identidade de ângulo duplo
\sin(u)\cos(u)=\tfrac12\sin(2u).
Logo
\int u\,\sin(u)\cos(u)\,du =\int u\cdot\tfrac12\sin(2u)\,du =\tfrac12\int u\,\sin(2u)\,du.

Passo 3

Agora fazemos integração por partes em \displaystyle \int u\,\sin(2u)\,du\). Escolhemos \[\begin{cases} A = u, & dB = \sin(2u)\,du,\\\ dA = du, & B = \int \sin(2u)\,du = -\tfrac12\cos(2u). \end{cases}
Pela fórmula (\displaystyle \int A,dB = A,B - \int B,dA], temos
\int u\,\sin(2u)\,du = u\Bigl(-\tfrac12\cos(2u)\Bigr) -\int \Bigl(-\tfrac12\cos(2u)\Bigr)\,du = -\tfrac12\,u\cos(2u) +\tfrac12\int \cos(2u)\,du.

Passo 4

Calculamos a integral remanescente:
\int \cos(2u)\,du =\tfrac12\sin(2u).
Substituindo em cima:
\int u\,\sin(2u)\,du = -\tfrac12\,u\cos(2u) +\tfrac12\cdot\tfrac12\sin(2u) = -\tfrac12\,u\cos(2u) +\tfrac14\sin(2u).
Lembrando do fator \tfrac12 que ficou fora:
\tfrac12\int u\,\sin(2u)\,du = -\tfrac14\,u\cos(2u) +\tfrac18\sin(2u).

Resposta

\int u\,\sin(u)\cos(u)\,du =-\tfrac14\,u\cos(2u) +\tfrac18\sin(2u)+C.

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