Sela] Encontre a solução do seguinte pvi que se trata de um sistema linear para dusas funçer incógnitas x(t) e y(t) :
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}(t)=x(t)+y(t) \\\ y^{\prime}(t)=4 x(t)-2 y(t) \\\ x(0)=1.5 \text { (umemeio) } \\\ y(0)=0 \end{array}\right.
Ou, equivalentemente, escrevendo \vec{u}(t)=\binom{x(t)}{y(t)} temos uma notação vetorial-matricial para 0 sistema:
\vec{u}^{\prime}(t) \equiv A \vec{u}(t), \quad \text { com } \quad \vec{u}(0)=\binom{1.5}{0}, \quad \text { onde } \quad A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ 4 & -2 \end{array}\right)
Roteiro:
(a) obtenha os dois autovalores \lambda_{1} e \lambda_{2} da matriz A, e se certifique de que estamos no caso \lambda_{1} \neq \lambda_{2} (autovalores distintos).

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial para o sistema linear
\begin{cases} x'(t)=x(t)+y(t),\\\ y'(t)=4\,x(t)-2\,y(t),\\\ x(0)=1.5,\\\ y(0)=0, \end{cases}
ou em notação vetorial
\vec u'(t)=A\,\vec u(t),\qquad \vec u(0)=\binom{1.5}{0},
com
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 4 & -2\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é resolver sistemas lineares com coeficientes constantes por diagonalização, ou seja, encontrar autovalores e autovetores de A, montar a solução geral e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Construímos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)(-2-\lambda)-4 =\lambda^2+\lambda-6.
Resolvendo
\lambda^2+\lambda-6=0
obtemos as raízes
\lambda_1=2 e \lambda_2=-3,
que são distintos, caracterizando o caso de autovalores simples.

Passo 3

Para \lambda_1=2 resolvemos (A-2I)v=0:
\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 4 & -4\end{pmatrix} \binom{v_1}{v_2}=0 \quad\Longrightarrow\quad v_2=v_1,
podendo escolher v^{(1)}=\binom{1}{1}.
Para \lambda_2=-3 resolvemos (A+3I)v=0:
\begin{pmatrix}4 & 1\\\ 4 & 1\end{pmatrix} \binom{v_1}{v_2}=0 \quad\Longrightarrow\quad v_2=-4v_1,
podendo escolher v^{(2)}=\binom{1}{-4}.

Passo 4

A solução geral do sistema é
\vec u(t) =C_1 e^{2t}\binom{1}{1} + C_2 e^{-3t}\binom{1}{-4}.

Passo 5

Impondo \vec u(0)=\binom{1.5}{0}\) obtemos \[\binom{1.5}{0} =C_1\binom{1}{1}+C_2\binom{1}{-4} =\binom{C_1+C_2}{C_1-4C_2}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 1.5,\\\ C_1 - 4C_2 = 0, \end{cases}
cuja solução é C_2=0.3\] e \(C_1=1.2.

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos
x(t) =1.2\,e^{2t}+0.3\,e^{-3t}, \quad y(t) =1.2\,e^{2t}-1.2\,e^{-3t}.

Resposta

x(t)=1.2\,e^{2t}+0.3\,e^{-3t}, \qquad y(t)=1.2\,e^{2t}-1.2\,e^{-3t}.

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