Calcule as integrais usando integração por partes.
\int w^{2} \ln (w) d w

Passo 1

Resumindo, queremos calcular a integral
\displaystyle \int w^{2}\ln(w)\,dw.
O método a ser usado é a técnica de integração por partes, baseada na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(w), \quad dv = w^{2}\,dw.
Dessa forma,
du = \frac{1}{w}\,dw, \quad v = \int w^{2}\,dw = \frac{w^{3}}{3}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, temos
\int w^{2}\ln(w)\,dw = u\,v - \int v\,du = \frac{w^{3}}{3}\ln(w) - \int \frac{w^{3}}{3}\cdot\frac{1}{w}\,dw = \frac{w^{3}}{3}\ln(w) - \frac{1}{3}\int w^{2}\,dw.

Passo 4

Calculamos \int w^{2}\,dw = \tfrac{w^{3}}{3} e substituímos:
\frac{w^{3}}{3}\ln(w) - \frac{1}{3}\cdot\frac{w^{3}}{3} + C = \frac{w^{3}}{3}\ln(w) - \frac{w^{3}}{9} + C.

Resposta

\frac{w^{3}}{3}\ln(w) \;-\;\frac{w^{3}}{9} + C

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