Calcule as integrais usando integração por partes.
\int\left(a^{2}+1\right) e^{-a} d a

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int (a^2+1)e^{-a}\,da
usando integração por partes. A fórmula que vamos usar é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = a^2+1, \quad dv = e^{-a}\,da.
Então
du = 2a\,da, \quad v = \int e^{-a}\,da = -e^{-a}.
Aplicando a fórmula,
\int (a^2+1)e^{-a}\,da = u\,v - \int v\,du = -(a^2+1)e^{-a} - \int \bigl(-e^{-a}\bigr)\,2a\,da = -(a^2+1)e^{-a} + 2\int a\,e^{-a}\,da.

Passo 3

Agora calculamos
\int a\,e^{-a}\,da
por partes, tomando
u = a, \quad dv = e^{-a}\,da.
Então
du = da, \quad v = -e^{-a}.
Logo,
\int a\,e^{-a}\,da = u\,v - \int v\,du = -a\,e^{-a} - \int\bigl(-e^{-a}\bigr)\,da = -a\,e^{-a} + \int e^{-a}\,da = -a\,e^{-a} - e^{-a} = -(a+1)e^{-a}.
Multiplicando por 2 temos
2\int a\,e^{-a}\,da = -2(a+1)e^{-a}.

Passo 4

Substituindo no resultado do Passo 2,
\int (a^2+1)e^{-a}\,da = -(a^2+1)e^{-a} - 2(a+1)e^{-a} + C = -(a^2 + 2a + 3)e^{-a} + C.

Resposta

\int (a^2+1)e^{-a}\,da = -(a^2+2a+3)e^{-a} + C.

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