Calcule as integrais usando integração por partes.
\int \theta \cos \pi \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \theta \cos(\pi \theta)\,d\theta
usando o método de integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \theta,\quad dv = \cos(\pi\theta)\,d\theta.
Então
du = d\theta
e precisamos de v tal que dv = d v, ou seja,
v = \int \cos(\pi\theta)\,d\theta.
Fazendo a substituição w=\pi\theta, temos \,dw=\pi\,d\theta, logo
v = \int \cos(w)\,\frac{dw}{\pi} = \frac{1}{\pi}\sin(w) = \frac{1}{\pi}\sin(\pi\theta).

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \theta \cos(\pi\theta)\,d\theta = u\,v - \int v\,du = \theta\cdot\frac{1}{\pi}\sin(\pi\theta) - \int \frac{1}{\pi}\sin(\pi\theta)\,d\theta.
Agora integramos \sin(\pi\theta):
\int \sin(\pi\theta)\,d\theta = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi\theta).
Portanto
\int \theta \cos(\pi\theta)\,d\theta = \frac{\theta}{\pi}\sin(\pi\theta) - \frac{1}{\pi}\Bigl(-\frac{1}{\pi}\cos(\pi\theta)\Bigr) = \frac{\theta}{\pi}\sin(\pi\theta) + \frac{1}{\pi^2}\cos(\pi\theta) + C.

Resposta

\int \theta \cos(\pi\theta)\,d\theta = \frac{\theta}{\pi}\sin(\pi\theta) + \frac{1}{\pi^2}\cos(\pi\theta) + C.

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