Esboce os gráficos das seguintes funções seguindo o roteiro acima.
;
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo aqui é análise de polinômio cúbico: vamos determinar domínio, interceptos, derivadas para estudar monotonia e concavidade, localizar pontos críticos e de inflexão, e então esboçar.
Passo 2
Domínio e interceptos:
O domínio de é
.
Para o intercepto em , fazemos
:
O domínio de
Para o intercepto em
logo há o ponto
.
Para os zeros de , resolvemos
Para os zeros de
Fatorando por agrupamento:
Assim as raízes são
(simples) e
(multiplicidade 2), dando pontos
e
com achatamento em
.
Passo 3
Monotonia e pontos críticos:
Calculamos a derivada primeira:
Calculamos a derivada primeira:
Resolvendo
:
isto é
e
.
Avaliaremos nesses pontos:
Avaliaremos
e já sabemos
.
O sinal de (parábola voltada para cima) indica:
O sinal de
-
em e : crescente lá. -
em : decrescente ali.
Portantoé máximo local e é mínimo local.
Passo 4
Concavidade e ponto de inflexão:
A derivada segunda é
A derivada segunda é
Resolvendo
obtém-se
O valor de
em
é
Para
,
(concavidade para baixo); para
,
(concavidade para cima). Assim
é ponto de inflexão.
Passo 5
Esboço qualitativo do gráfico:
- Comportamento assintótico:
,
. - Interceptos:
, (dupla) e . - Máximo local em
. - Mínimo local em
. - Ponto de inflexão em
. - Monotonia: sobe até
, desce até , sobe depois. - Concavidade: côncava para baixo até
, depois para cima.
Com essas informações, trace a curva passando pelos pontos-chave e respeitando monotonia e concavidade em cada intervalo.
Resposta
O esboço qualitativo do gráfico de
apresenta:
- Raiz simples em
e raiz dupla em . - Y-intercepto em
. - Máximo local em
. - Mínimo local em
. - Ponto de inflexão em
. - Cresce em
, decresce em , cresce em . - Côncava para baixo em
e para cima em .
Use esses pontos e comportamentos para desenhar a curva característica de um cúbico com dupla raiz em 1.