Esboce os gráficos das seguintes funções seguindo o roteiro acima.
f(x)=x^{3}-x^{2}-x+1;

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=x^{3}-x^{2}-x+1.
O conteúdo aqui é análise de polinômio cúbico: vamos determinar domínio, interceptos, derivadas para estudar monotonia e concavidade, localizar pontos críticos e de inflexão, e então esboçar.

Passo 2

Domínio e interceptos:
O domínio de f é \mathbb{R}.
Para o intercepto em y, fazemos x=0:
f(0)=0^{3}-0^{2}-0+1=1,
logo há o ponto (0,1).
Para os zeros de f, resolvemos
x^{3}-x^{2}-x+1=0.
Fatorando por agrupamento:
x^{2}(x-1)-(x-1)=(x-1)(x^{2}-1)=(x-1)^{2}(x+1).
Assim as raízes são
\,x=-1 (simples) e \,x=1 (multiplicidade 2), dando pontos (-1,0) e (1,0) com achatamento em x=1.

Passo 3

Monotonia e pontos críticos:
Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=3x^{2}-2x-1.
Resolvendo f'(x)=0:
3x^{2}-2x-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{6} =\frac{2\pm4}{6},
isto é x=-\tfrac{1}{3} e x=1.
Avaliaremos f nesses pontos:
f\bigl(-\tfrac13\bigr) =\bigl(-\tfrac13\bigr)^{3} -\bigl(-\tfrac13\bigr)^{2} -\bigl(-\tfrac13\bigr) +1 =\frac{-1-3+9+27}{27} =\frac{32}{27}\approx1{,}185
e já sabemos f(1)=0.
O sinal de f'(x) (parábola voltada para cima) indica:
  • f'(x)>0 em (-\infty,-\tfrac13) e (1,\infty): f crescente lá.
  • f'(x)<0 em (-\tfrac13,1): f decrescente ali.
    Portanto \bigl(-\tfrac13,\tfrac{32}{27}\bigr) é máximo local e (1,0) é mínimo local.

Passo 4

Concavidade e ponto de inflexão:
A derivada segunda é
f''(x)=6x-2.
Resolvendo f''(x)=0 obtém-se
6x-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac13.
O valor de f em x=\tfrac13 é
f\bigl(\tfrac13\bigr) =\bigl(\tfrac13\bigr)^{3} -\bigl(\tfrac13\bigr)^{2} -\bigl(\tfrac13\bigr) +1 =\frac{1-3-9+27}{27} =\frac{16}{27}\approx0{,}593.
Para x<\tfrac13, f''(x)<0 (concavidade para baixo); para x>\tfrac13, f''(x)>0 (concavidade para cima). Assim \bigl(\tfrac13,\tfrac{16}{27}\bigr) é ponto de inflexão.

Passo 5

Esboço qualitativo do gráfico:
  • Comportamento assintótico:
    \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,
    \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty.
  • Interceptos: (-1,0), (1,0) (dupla) e (0,1).
  • Máximo local em \bigl(-\tfrac13,\tfrac{32}{27}\bigr).
  • Mínimo local em (1,0).
  • Ponto de inflexão em \bigl(\tfrac13,\tfrac{16}{27}\bigr).
  • Monotonia: sobe até x=-\tfrac13, desce até x=1, sobe depois.
  • Concavidade: côncava para baixo até x=\tfrac13, depois para cima.
Com essas informações, trace a curva passando pelos pontos-chave e respeitando monotonia e concavidade em cada intervalo.

Resposta

O esboço qualitativo do gráfico de f(x)=x^{3}-x^{2}-x+1 apresenta:
  • Raiz simples em (-1,0) e raiz dupla em (1,0).
  • Y-intercepto em (0,1).
  • Máximo local em \bigl(-\tfrac13,\tfrac{32}{27}\bigr).
  • Mínimo local em (1,0).
  • Ponto de inflexão em \bigl(\tfrac13,\tfrac{16}{27}\bigr).
  • Cresce em (-\infty,-\tfrac13), decresce em (-\tfrac13,1), cresce em (1,\infty).
  • Côncava para baixo em (-\infty,\tfrac13) e para cima em (\tfrac13,\infty).
    Use esses pontos e comportamentos para desenhar a curva característica de um cúbico com dupla raiz em 1.

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