Calcule as integrais usando integração por partes e as seguintes escolhas de u e dv:
a) \int x \ln (x) d x, \quad u=\ln (x), d v=x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x \ln(x)\,dx
utilizando integração por partes com as escolhas dadas: u=\ln(x) e dv=x\,dx. Informações relevantes: a função \ln(x) exige x>0, então trabalhamos no domínio x>0. A tarefa é aplicar a fórmula de integração por partes e obter a primitiva (mais a constante de integração).

Passo 2

Vou lembrar e explicar a fórmula de integração por partes. Ela vem da regra do produto para derivadas: se u e v são funções diferenciáveis, então
(uv)' = u'v + uv'.
Integrando ambos os lados em relação a x, obtemos
\int (uv)' \,dx = \int u'v \,dx + \int uv' \,dx.
O lado esquerdo é uv, logo rearranjando:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui estamos usando a notação du=u'\,dx e dv=v'\,dx. Interpretando: escolher u e dv é escolher qual parte vamos derivar (para obter du) e qual parte vamos integrar (para obter v). A vantagem é que a nova integral \int v\,du costuma ser mais simples.

Passo 3

Agora calculemos du a partir da escolha u=\ln(x). Derivando \ln(x) em relação a x temos
\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}.
Portanto
du = \frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Calculemos v a partir de dv = x\,dx. Integramos x em relação a x:
v = \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Sempre que obtivermos v integrando dv, não esquecemos que a integração indefinida tem constante, mas essa constante pode ser absorvida na constante final da primitiva, então normalmente não a escrevemos aqui.

Passo 5

Aplique a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Substituindo as quantidades que temos ( u=\ln(x), v=\dfrac{x^{2}}{2}, du=\dfrac{1}{x}\,dx) obtemos
\int x\ln(x)\,dx = \ln(x)\cdot\frac{x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 6

Simplificamos o integrando na segunda parcela:
\frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x}{2}.
Logo
\int x\ln(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \int \frac{x}{2}\,dx.

Passo 7

Calcule a integral restante. Podemos fatorar \tfrac{1}{2}:
\int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{4}.

Passo 8

Substituindo de volta, obtemos a primitiva (somando a constante de integração C):
\frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \frac{x^{2}}{4} + C.
Como forma alternativa de escrita, pode-se fatorar x^{2}/4:
\frac{x^{2}}{4}\bigl(2\ln(x)-1\bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}\ln(x)-\frac{x^{2}}{4}+C

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