Calcule as integrais usando integração por partes e as seguintes escolhas de u e dv:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
utilizando integração por partes com as escolhas dadas:
e
. Informações relevantes: a função
exige
, então trabalhamos no domínio
. A tarefa é aplicar a fórmula de integração por partes e obter a primitiva (mais a constante de integração).
Passo 2
Vou lembrar e explicar a fórmula de integração por partes. Ela vem da regra do produto para derivadas: se
e
são funções diferenciáveis, então
Integrando ambos os lados em relação a
, obtemos
O lado esquerdo é
, logo rearranjando:
Aqui estamos usando a notação
e
. Interpretando: escolher
e
é escolher qual parte vamos derivar (para obter
) e qual parte vamos integrar (para obter
). A vantagem é que a nova integral
costuma ser mais simples.
Passo 3
Agora calculemos
a partir da escolha
. Derivando
em relação a
temos
Portanto
Passo 4
Calculemos
a partir de
. Integramos
em relação a
:
Sempre que obtivermos
integrando
, não esquecemos que a integração indefinida tem constante, mas essa constante pode ser absorvida na constante final da primitiva, então normalmente não a escrevemos aqui.
Passo 5
Aplique a fórmula de integração por partes:
Substituindo as quantidades que temos (
,
,
) obtemos
Passo 6
Simplificamos o integrando na segunda parcela:
Logo
Passo 7
Calcule a integral restante. Podemos fatorar
:
Passo 8
Substituindo de volta, obtemos a primitiva (somando a constante de integração
):
Como forma alternativa de escrita, pode-se fatorar
: