Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
n) \int_{0}^{1} 5^{\mathrm{t}} \mathrm{dt}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} 5^{t}\,dt.
Informações dadas:
\text{integrando: }5^{t},\qquad \text{limites: }t=0\text{ a }t=1.
Pergunta: calcular o valor numérico da integral (ou explicar por que ela não existe).

Passo 2

Verificação de existência: a função t\mapsto 5^{t} é contínua em todo \mathbb{R} (pois é uma exponencial com base positiva). Uma função contínua em um intervalo fechado é integrável nesse intervalo, portanto a integral existe. Isso já nos permite usar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral por uma primitiva.

Passo 3

Lembrando o Teorema Fundamental do Cálculo (forma prática): se f é contínua em [a,b] e F é uma primitiva de f (ou seja, F'(t)=f(t)), então
\int_{a}^{b} f(t)\,dt = F(b)-F(a).
Aqui f(t)=5^{t}. Precisamos então encontrar uma primitiva F tal que F'(t)=5^{t}.

Passo 4

Cálculo da primitiva de 5^{t}. Uma maneira direta é escrever a exponencial de base 5 em termos da exponencial natural:
5^{t}=e^{t\ln 5}.
Se propomos F(t)=\dfrac{5^{t}}{\ln 5}, vamos checar a derivada usando a regra da cadeia:
F'(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{5^{t}}{\ln 5}\right)=\frac{1}{\ln 5}\cdot 5^{t}\ln 5 = 5^{t}.
Portanto F(t)=\dfrac{5^{t}}{\ln 5} é uma primitiva de 5^{t}. Observação geral (útil na prova): para a>0,\;a\neq1 vale
\int a^{t}\,dt = \frac{a^{t}}{\ln a}+C.

Passo 5

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo com F(t)=\dfrac{5^{t}}{\ln 5} e os limites 0 e 1:
\int_{0}^{1} 5^{t}\,dt = \left.\frac{5^{t}}{\ln 5}\right|_{0}^{1} = \frac{5^{1}}{\ln 5} - \frac{5^{0}}{\ln 5} = \frac{5-1}{\ln 5} = \frac{4}{\ln 5}.
Se quiser uma aproximação numérica rápida: \ln 5\approx 1,6094, logo \dfrac{4}{\ln 5}\approx 2,485.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{\ln 5}

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