Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
n) \int_{0}^{1} 5^{\mathrm{t}} \mathrm{dt}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} 5^{t}\,dt.
Informações dadas:
\text{integrando: }5^{t},\qquad \text{limites: }t=0\text{ a }t=1.
Pergunta: calcular o valor numérico da integral (ou explicar por que ela não existe).
Passo 2
Verificação de existência: a função t\mapsto 5^{t} é contínua em todo \mathbb{R} (pois é uma exponencial com base positiva). Uma função contínua em um intervalo fechado é integrável nesse intervalo, portanto a integral existe. Isso já nos permite usar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral por uma primitiva.
Passo 3
Lembrando o Teorema Fundamental do Cálculo (forma prática): se f é contínua em [a,b] e F é uma primitiva de f (ou seja, F'(t)=f(t)), então
\int_{a}^{b} f(t)\,dt = F(b)-F(a).
Aqui f(t)=5^{t}. Precisamos então encontrar uma primitiva F tal que F'(t)=5^{t}.
Passo 4
Cálculo da primitiva de 5^{t}. Uma maneira direta é escrever a exponencial de base 5 em termos da exponencial natural:
5^{t}=e^{t\ln 5}.
Se propomos F(t)=\dfrac{5^{t}}{\ln 5}, vamos checar a derivada usando a regra da cadeia: