Calcule as seguintes integrais indefinidas:
d)
d)
Passo 1
O problema pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes que o enunciado dá:
Queremos encontrar uma primitiva (função cuja derivada é o integrando) e lembrar de adicionar a constante de integração
.
Passo 2
Antes de começar a calcular, vou explicar um método simples e muito útil: a substituição. A ideia é trocar a variável
por uma nova variável
que simplifique a integral. Formalmente, se fizermos
então
e a integral em
pode virar uma integral em
. Isso costuma ser muito eficiente quando o integrando contém uma função e sua derivada aparente.
Também vamos usar a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
é a variável de integração (após a substituição) e
é um número real.
No nosso integrando, vemos
ao quadrado no denominador e um fator
no numerador. Isso sugere escolher
, porque a derivada de
é
, que está muito próxima do
que temos. Vou usar essa substituição porque é a mais direta e rápida; outra forma seria reconhecer diretamente uma derivada conhecida, mas ambas são equivalentes neste caso.
Passo 3
Fazendo a substituição sugerida:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Agora substituímos na integral original. Observe que
. Assim
Passo 4
Fatorando a constante
para fora da integral:
Agora aplicamos a regra de potência com
:
Portanto
Passo 5
Voltando à variável
(fazendo a substituição inversa
):
Não esquecer da constante de integração
. Assim a primitiva geral é
Passo 6
Verificação rápida diferenciando a resposta para confirmar que volta ao integrando. Seja
Usando a regra da cadeia para derivar
:
(derivada de
é
(x{2}+1){-2}\cdot 2x). Simplificando:
que é exatamente o integrando. Verificação confirmada.