Calcule as seguintes integrais indefinidas:
d) \int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{integrando}=\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.
Queremos encontrar uma primitiva (função cuja derivada é o integrando) e lembrar de adicionar a constante de integração C.

Passo 2

Antes de começar a calcular, vou explicar um método simples e muito útil: a substituição. A ideia é trocar a variável x por uma nova variável u que simplifique a integral. Formalmente, se fizermos \;u=g(x)\; então \;du=g'(x)\,dx\; e a integral em x pode virar uma integral em u. Isso costuma ser muito eficiente quando o integrando contém uma função e sua derivada aparente.
Também vamos usar a regra de potência para integrais: para \;n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui u é a variável de integração (após a substituição) e n é um número real.
No nosso integrando, vemos \left(x^{2}+1\right) ao quadrado no denominador e um fator x no numerador. Isso sugere escolher u=x^{2}+1, porque a derivada de x^{2}+1 é 2x, que está muito próxima do x que temos. Vou usar essa substituição porque é a mais direta e rápida; outra forma seria reconhecer diretamente uma derivada conhecida, mas ambas são equivalentes neste caso.

Passo 3

Fazendo a substituição sugerida:
u = x^{2}+1.
Derivando ambos os lados em relação a x:
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Agora substituímos na integral original. Observe que \left(x^{2}+1\right)^{2}=u^{2}. Assim
\int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\left(x\,dx\right) = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Fatorando a constante \tfrac{1}{2} para fora da integral:
\int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int u^{-2}\,du.
Agora aplicamos a regra de potência com n=-2:
\int u^{-2}\,du=\frac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1}.
Portanto
\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{2}\left(-u^{-1}\right) = -\frac{1}{2}\,u^{-1}.

Passo 5

Voltando à variável x (fazendo a substituição inversa u=x^{2}+1):
-\frac{1}{2}\,u^{-1} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{u} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}.
Não esquecer da constante de integração C. Assim a primitiva geral é
-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}+C.

Passo 6

Verificação rápida diferenciando a resposta para confirmar que volta ao integrando. Seja
F(x)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}.
Usando a regra da cadeia para derivar F:
F'(x)=-\frac{1}{2}\cdot\left(-1\right)\left(x^{2}+1\right)^{-2}\cdot 2x
(derivada de (x^{2}+1)^{-1} é -1(x{2}+1){-2}\cdot 2x). Simplificando:
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot\left(x^{2}+1\right)^{-2}= \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}},
que é exatamente o integrando. Verificação confirmada.

Resposta

-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}+C

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