Calcule as seguintes integrais:
b) \int \mathrm{r} e^{\mathrm{r} / 3} \mathrm{dr}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \mathrm{r}\, e^{\mathrm{r}/3}\, \mathrm{dr}.
Informações dadas: a função a integrar é o produto de \mathrm{r} (uma função polinomial de grau 1) por e^{\mathrm{r}/3} (uma exponencial), e a variável de integração é \mathrm{r}. A resposta deve ser uma primitiva dessa função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método e fórmula que vamos usar. Quando temos o produto de duas funções (aqui \mathrm{r} e e^{\mathrm{r}/3}), uma técnica simples e direta é a integração por partes. A fórmula da integração por partes vem da regra do produto da diferenciação e é:
\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u
Aqui u e v são funções de \mathrm{r}, \mathrm{d}u é a diferencial de u e \mathrm{d}v é a diferencial de v. Vou aplicar essa fórmula escolhendo u e \mathrm{d}v de forma conveniente.

Passo 3

Escolha de u e \mathrm{d}v. Uma regra prática: escolher u como a parte polinomial (que simplifica quando derivamos) e \mathrm{d}v como a parte que sabemos integrar facilmente (a exponencial). Então tomamos
u = \mathrm{r} \qquad\text{e}\qquad \mathrm{d}v = e^{\mathrm{r}/3}\,\mathrm{d}r.
Agora calculamos \mathrm{d}u e v. A diferencial de u é
\mathrm{d}u = \mathrm{d}(\mathrm{r}) = 1\,\mathrm{d}r.

Passo 4

Calcular v, ou seja, integrar \mathrm{d}v. Precisamos de
v = \int e^{\mathrm{r}/3}\,\mathrm{d}r.
Para integrar e^{a\mathrm{r}} sabemos que \int e^{a\mathrm{r}}\,\mathrm{d}r = \frac{1}{a} e^{a\mathrm{r}} + C. Aqui a=\tfrac{1}{3}, portanto
v = \int e^{\mathrm{r}/3}\,\mathrm{d}r = 3\,e^{\mathrm{r}/3}.
(Se preferir ver por substituição: ponha t=\mathrm{r}/3 então \mathrm{d}r=3\,\mathrm{d}t e \int e^{\mathrm{r}/3}\mathrm{d}r=\int e^{t}\cdot 3\,\mathrm{d}t=3e^{t}=3e^{\mathrm{r}/3}.)

Passo 5

Aplicar a fórmula da integração por partes:
\int \mathrm{r}\, e^{\mathrm{r}/3}\,\mathrm{d}r = u v - \int v\,\mathrm{d}u.
Substituindo u=\mathrm{r}, v=3e^{\mathrm{r}/3} e \mathrm{d}u=1\,\mathrm{d}r, obtemos
\int \mathrm{r}\, e^{\mathrm{r}/3}\,\mathrm{d}r = \mathrm{r}\cdot 3e^{\mathrm{r}/3} - \int 3e^{\mathrm{r}/3}\cdot 1\,\mathrm{d}r.
Escrevendo de forma organizada:
\int \mathrm{r}\, e^{\mathrm{r}/3}\,\mathrm{d}r = 3\mathrm{r}\,e^{\mathrm{r}/3} - 3\int e^{\mathrm{r}/3}\,\mathrm{d}r.

Passo 6

Agora calculamos a integral restante \int e^{\mathrm{r}/3}\,\mathrm{d}r, que já fizemos antes e dá 3e^{\mathrm{r}/3}. Substituindo:
\int \mathrm{r}\, e^{\mathrm{r}/3}\,\mathrm{d}r = 3\mathrm{r}\,e^{\mathrm{r}/3} - 3\cdot \big(3e^{\mathrm{r}/3}\big) + C.
Então
\int \mathrm{r}\, e^{\mathrm{r}/3}\,\mathrm{d}r = 3\mathrm{r}\,e^{\mathrm{r}/3} - 9e^{\mathrm{r}/3} + C.

Passo 7

Fatorando 3e^{\mathrm{r}/3} para deixar mais compacto:
\int \mathrm{r}\, e^{\mathrm{r}/3}\,\mathrm{d}r = 3(\mathrm{r}-3)\,e^{\mathrm{r}/3} + C.

Passo 8

Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): derivando a primitiva encontrada
F(\mathrm{r})=3(\mathrm{r}-3)e^{\mathrm{r}/3}
temos, usando a regra do produto e que \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}e^{\mathrm{r}/3}=\tfrac{1}{3}e^{\mathrm{r}/3},
F'(\mathrm{r})=3\big(1\cdot e^{\mathrm{r}/3}+(\mathrm{r}-3)\cdot \tfrac{1}{3}e^{\mathrm{r}/3}\big) =3e^{\mathrm{r}/3}+(\mathrm{r}-3)e^{\mathrm{r}/3}=\mathrm{r}\,e^{\mathrm{r}/3},
que é exatamente o integrando. Logo está correto.

Resposta

3(\mathrm{r}-3)\,e^{\mathrm{r}/3}+C

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