Calcule as seguintes integrais:
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a função a integrar é o produto de (uma função polinomial de grau 1) por
(uma exponencial), e a variável de integração é
. A resposta deve ser uma primitiva dessa função, mais a constante de integração
.
Informações dadas: a função a integrar é o produto de
Passo 2
Escolha do método e fórmula que vamos usar. Quando temos o produto de duas funções (aqui
e
), uma técnica simples e direta é a integração por partes. A fórmula da integração por partes vem da regra do produto da diferenciação e é:
Aqui
e
são funções de
,
é a diferencial de
e
é a diferencial de
. Vou aplicar essa fórmula escolhendo
e
de forma conveniente.
Passo 3
Escolha de
e
. Uma regra prática: escolher
como a parte polinomial (que simplifica quando derivamos) e
como a parte que sabemos integrar facilmente (a exponencial). Então tomamos
Agora calculamos
e
. A diferencial de
é
Passo 4
Calcular
, ou seja, integrar
. Precisamos de
Para integrar
sabemos que
. Aqui
, portanto
(Se preferir ver por substituição: ponha
então
e
.)
Passo 5
Aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
, obtemos
Escrevendo de forma organizada:
Passo 6
Agora calculamos a integral restante
, que já fizemos antes e dá
. Substituindo:
Então
Passo 7
Fatorando
para deixar mais compacto:
Passo 8
Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): derivando a primitiva encontrada
temos, usando a regra do produto e que
,
que é exatamente o integrando. Logo está correto.