Questão 51. Prove que
\mathcal{L}\{t \cdot \operatorname{cosh} (3 t)\}=\frac{s^{2}+9}{\left(s^{2}-9\right)^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\mathcal{L}\{t\cdot \operatorname{cosh}(3t)\}=\frac{s^{2}+9}{\left(s^{2}-9\right)^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{função a transformar: } t\cdot \operatorname{cosh}(3t).çã
Queremos calcular a transformada de Laplace dessa função e obter a expressão algébrica em s indicada.

Passo 2

Vamos lembrar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades úteis (com explicação didática pequena, passo a passo).
Definição:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa e, para funções exponenciais/hiperbólicas, costuma ser necessário \Re(s)> alguma constante para a integral convergir.
Propriedade de linearidade (útil para combinar transformadas):
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\},
para constantes a,b.
Outra propriedade-chave que vamos usar (vou provar rapidamente no próximo passo) é:
\mathcal{L}\{t\,f(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{f(t)\}(s).
Essa propriedade transforma o fator t no domínio do tempo em uma derivada em s, o que costuma simplificar muito cálculos.

Passo 3

Primeiro vamos calcular a transformada de \operatorname{cosh}(3t). Lembrando a definição de \operatorname{cosh}:
\operatorname{cosh}(3t)=\frac{e^{3t}+e^{-3t}}{2}.
Usando a definição da transformada e a linearidade:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(3t)\}(s)=\frac{1}{2}\mathcal{L}\{e^{3t}\}(s)+\frac{1}{2}\mathcal{L}\{e^{-3t}\}(s).
Agora calcule cada transformada exponencial (integrais simples):
\mathcal{L}\{e^{3t}\}(s)=\int_0^\infty e^{-st}e^{3t}\,dt=\int_0^\infty e^{-(s-3)t}\,dt=\frac{1}{s-3}\quad\text{(para }\Re(s)>3\text{)},
\mathcal{L}\{e^{-3t}\}(s)=\int_0^\infty e^{-st}e^{-3t}\,dt=\int_0^\infty e^{-(s+3)t}\,dt=\frac{1}{s+3}\quad\text{(para }\Re(s)>-3\text{)}.
Combinando:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(3t)\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-3}+\frac{1}{s+3}\right).
Colocando sobre um denominador comum:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(3t)\}(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{(s+3)+(s-3)}{(s-3)(s+3)}=\frac{s}{s^{2}-9},
válido para \Re(s)>3 (essa é a região de convergência prática para a nossa função).

Passo 4

Agora provamos a propriedade usada para lidar com o fator t:
\mathcal{L}\{t\,f(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{f(t)\}(s).
Prova rápida (intuitiva e direta): escreva \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt. Diferenciando em relação a s sob o sinal de integral (justificável por condições usuais de troca de ordem),
\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{d}{ds}\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt=\int_0^\infty \frac{\partial}{\partial s}\big(e^{-st}f(t)\big)\,dt=\int_0^\infty (-t)e^{-st}f(t)\,dt=-\mathcal{L}\{t\,f(t)\}(s).
Isolando \mathcal{L}\{t\,f(t)\} obtemos a propriedade anunciada.

Passo 5

Aplicando essa propriedade com f(t)=\operatorname{cosh}(3t):
\mathcal{L}\{t\cdot \operatorname{cosh}(3t)\}(s)=-\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(3t)\}(s).
Já temos \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(3t)\}(s)=\dfrac{s}{s^{2}-9}. Então precisamos derivar essa função em s e multiplicar por -1.
Calcule a derivada passo a passo usando a regra do quociente. Defina
F(s)=\frac{s}{s^{2}-9}.
A derivada F'(s) pela regra do quociente (se F(s)=\dfrac{u(s)}{v(s)} então F'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}) com u(s)=s e v(s)=s^{2}-9 dá:
u'(s)=1,\qquad v'(s)=2s,
F'(s)=\frac{1\cdot (s^{2}-9)-s\cdot(2s)}{(s^{2}-9)^{2}}=\frac{s^{2}-9-2s^{2}}{(s^{2}-9)^{2}}=\frac{-s^{2}-9}{(s^{2}-9)^{2}}.
Multiplicando por -1 (pela propriedade do passo anterior):
\mathcal{L}\{t\cdot \operatorname{cosh}(3t)\}(s)=-F'(s)=-\left(\frac{-s^{2}-9}{(s^{2}-9)^{2}}\right)=\frac{s^{2}+9}{(s^{2}-9)^{2}}.

Passo 6

Resumo rápido do raciocínio para a prova: primeiro calculei \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(3t)\}=\dfrac{s}{s^{2}-9} usando a definição e a expressão exponencial de \operatorname{cosh}; depois usei a propriedade \mathcal{L}\{t f(t)\}=-\dfrac{d}{ds}\mathcal{L}\{f(t)\} e derivatei \dfrac{s}{s^{2}-9} com a regra do quociente; o resultado simplificado foi exatamente \dfrac{s^{2}+9}{(s^{2}-9)^{2}}. A região de convergência prática é \Re(s)>3.

Resposta

\mathcal{L}\{t\cdot \operatorname{cosh}(3t)\}(s)=\frac{s^{2}+9}{(s^{2}-9)^{2}}\quad(\Re(s)>3)

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