Questão 51. Prove que
;
Passo 1
O enunciado pede para provar que
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Queremos calcular a transformada de Laplace dessa função e obter a expressão algébrica em
indicada.
Passo 2
Vamos lembrar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades úteis (com explicação didática pequena, passo a passo).
Definição:
onde
é uma variável complexa e, para funções exponenciais/hiperbólicas, costuma ser necessário
alguma constante para a integral convergir.
Propriedade de linearidade (útil para combinar transformadas):
para constantes
.
Outra propriedade-chave que vamos usar (vou provar rapidamente no próximo passo) é:
Essa propriedade transforma o fator
no domínio do tempo em uma derivada em
, o que costuma simplificar muito cálculos.
Passo 3
Primeiro vamos calcular a transformada de
. Lembrando a definição de
:
Usando a definição da transformada e a linearidade:
Agora calcule cada transformada exponencial (integrais simples):
Combinando:
Colocando sobre um denominador comum:
válido para
(essa é a região de convergência prática para a nossa função).
Passo 4
Agora provamos a propriedade usada para lidar com o fator
:
Prova rápida (intuitiva e direta): escreva
. Diferenciando em relação a
sob o sinal de integral (justificável por condições usuais de troca de ordem),
Isolando
obtemos a propriedade anunciada.
Passo 5
Aplicando essa propriedade com
:
Já temos
. Então precisamos derivar essa função em
e multiplicar por
.
Calcule a derivada passo a passo usando a regra do quociente. Defina
A derivada
pela regra do quociente (se
então
) com
e
dá:
Multiplicando por
(pela propriedade do passo anterior):
Passo 6
Resumo rápido do raciocínio para a prova: primeiro calculei
usando a definição e a expressão exponencial de
; depois usei a propriedade
e derivatei
com a regra do quociente; o resultado simplificado foi exatamente
. A região de convergência prática é
.