Calcule as integrais usando o método da substituição

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral 3x,(1-2x^2)^10,dx usando o método da substituição, que é uma técnica de cálculo integral para simplificar expressões trocando a variável.

Passo 2

Precisamos identificar uma parte do integrando cuja derivada apareça multiplicada. Observamos a potência (1-2x^2)^10, então definimos u = 1 - 2x^2. Derivando em relação a x, obtemos du = -4x,dx, pois a derivada de 1 - 2x^2 é -4x.

Passo 3

Isolamos x,dx em du = -4x,dx, o que dá x,dx = -tfrac14,du. No integrando original temos 3x,dx, então substituímos por 3x,dx = -tfrac34,du. Assim a integral transforma-se em
integral 3x,(1-2x^2)^10,dx = integral -tfrac34,u^10,du

Passo 4

O fator -tfrac34 é constante e sai na frente da integral, restando
-tfrac34integral u^10,du
Para integrar usamos a regra de potência integral u^n,du = tfracu^n+1n+1 + C. Aqui n=10, então
-tfrac34cdot u^1111 + C = -3u^1144 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = 1 - 2x^2. A resposta final fica
-3,(1-2x^2)^1144 + C

Resposta

-\frac{3(1-2x2){11}}{44} + C

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