Calcule as integrais usando o método da substituição

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
integral x^2(x^3+5)^4,dx
usando o método de substituição. O conteúdo é integração por substituição, e vamos precisar usar que a derivada de x^3+5 aparece em x^2,dx.

Passo 2

Definimos a substituição
u = x^3 + 5
cuja diferencial é
du = 3x^2,dx
Logo,
x^2,dx = du3

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral x^2(x^3+5)^4,dx = integral 1u^4 cdot du3 = 13 integral u^-4,du

Passo 4

Integramos em u:
integral u^-4,du = u^-3-3 + C = -tfrac13u^-3 + C
Multiplicando pelo tfrac13
-tfrac19u^-3 + C

Passo 5

Voltando à variável x, como u = x^3+5, a primitiva é
-19(x^3+5)^3 + C

Resposta

-\frac{1}{9(x{3}+5){3}} + C

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