Calcule as integrais usando o método da substituição
integral e^2 x raiz1+4 e^x d x

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos calcular a integral integral e^2xraiz1+4e^x,dx usando o método da substituição em integrais.

Passo 2

Escolha da substituição: uma boa sacada é notar que o que aparece dentro da raiz é 1+4e^x. Então definimos u = 1 + 4e^x.

Passo 3

Expressar du e reescrever e^2xdx: derivando u em relação a x temos
du = 4e^x,dx
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e^x,dx = du4
Também, de u = 1+4e^x tiramos
e^x = u-14
Com isso
e^2x,dx = e^x,(e^x,dx) = u-14cdotdu4 = u-116,du

Passo 4

Reescrever a integral em u:
integral e^2xraiz1+4e^x,dx = integral u-116raizu,du = 116integral (u-1)u^1/2,du = 116integral (u^3/2 - u^1/2),du

Passo 5

Calcular a integral em u: sabemos que
integral u^3/2,du = 25u^5/2, integral u^1/2,du = 23u^3/2
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116l(tfrac25u^5/2 - tfrac23u^3/2r) + C = 140u^5/2 - 124u^3/2 + C

Passo 6

Voltar para a variável original: como u = 1 + 4e^x, temos
integral e^2xraiz1+4e^x,dx = 140(1 + 4e^x)^5/2 - 124(1 + 4e^x)^3/2 + C

Resposta

140(1 + 4e^x)^5/2 - 124(1 + 4e^x)^3/2 + C

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