Encontre as derivadas das funûÏûçes

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função y = x √(x²+1) – ln(x + √(x²+1)). O conteúdo envolvido é derivação de soma, produto, cadeia e logaritmo. Vamos usar a regra do produto para o primeiro termo, a regra da cadeia para ambos e a derivada de ln.

Passo 2

Para derivar o primeiro termo x √(x²+1) aplicamos a regra do produto: se f(x)=x e g(x)=√(x²+1), então f′(x)=1 e, pela regra da cadeia, g′(x)= (1/(2√(x²+1)))·2x = x/√(x²+1). Logo:
ddxl(xraizx^2+1r)=1cdotraizx^2+1+xcdotxraizx^2+1=2x^2+1raizx^2+1

Passo 3

Para o segundo termo ln(x+√(x²+1)) usamos a regra da cadeia: se u(x)=x+√(x²+1), então u′(x)=1+ x/√(x²+1). Assim,
ddxlnl(x+raizx^2+1r)=u'(x)u(x)=1+xraizx^2+1x+raizx^2+1

Passo 4

Observe que 1+ x/√(x²+1)=(√(x²+1)+x)/√(x²+1), e dividindo por (x+√(x²+1)) cancela o numerador com o denominador, sobrando:
ddxln(x+raizx^2+1)=1raizx^2+1

Passo 5

Agora combinamos as duas derivadas:
y'=2x^2+1raizx^2+1-1raizx^2+1=2x^2+1-1raizx^2+1=2x^2raizx^2+1

Resposta

y'=2x^2raizx^2+1

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