Encontre as derivadas das funûÏûçes
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função y = x √(x²+1) – ln(x + √(x²+1)). O conteúdo envolvido é derivação de soma, produto, cadeia e logaritmo. Vamos usar a regra do produto para o primeiro termo, a regra da cadeia para ambos e a derivada de ln.
Passo 2
Para derivar o primeiro termo x √(x²+1) aplicamos a regra do produto: se f(x)=x e g(x)=√(x²+1), então f′(x)=1 e, pela regra da cadeia, g′(x)= (1/(2√(x²+1)))·2x = x/√(x²+1). Logo:
Passo 3
Para o segundo termo ln(x+√(x²+1)) usamos a regra da cadeia: se u(x)=x+√(x²+1), então u′(x)=1+ x/√(x²+1). Assim,
Passo 4
Observe que 1+ x/√(x²+1)=(√(x²+1)+x)/√(x²+1), e dividindo por (x+√(x²+1)) cancela o numerador com o denominador, sobrando:
Passo 5
Agora combinamos as duas derivadas: