|z|=5 (a) |z-2 i|=12, (b)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno ointCl(3z+2-1z-2ir)dz em duas curvas: (a) o círculo |z|=5 e (b) o círculo |z-2i|=tfrac12. Vamos usar o Teorema dos Resíduos, que diz que para uma função meromorfa f e um contorno fechado C positivamente orientado, ointC f(z),dz = 2pi i sumpólos dentro de CRes(f,pólo)óó

Passo 2

Precisamos encontrar os polos de f(z)=3z+2-1z-2i e seus resíduos. Observamos dois polos simples: z=-2 e z=2i. Para um polo simples em z=a, Res(g,z=a)=limzto a(z-a)g(z). Assim,
Para z=-2: Resl(f,-2r)=limzto-2(z+2)3z+2=3
Para z=2i: Resl(f,2ir)=limzto2i(z-2i)l(-1z-2ir)=-1

Passo 3

No contorno (a) |z|=5, ambos os polos -2 e 2i estão dentro, pois |-2|=2<5 e |2i|=2<5. Pelo Teorema dos Resíduos:
oint|z|=5f(z),dz = 2pi il(3 + (-1)r) = 2pi icdot2 = 4pi i

Passo 4

No contorno (b) |z-2i|=tfrac12, apenas o polo z=2i está dentro (a distância de -2 até 2i é maior que tfrac12). Logo,
oint|z-2i|=1/2f(z),dz = 2pi il(-1r) = -2pi i

Resposta

(a) 4pi i (b) -2pi i

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