ointC 1z^3+2 i z^2 d z ;|z|=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno ointC1z^3+2iz^2,dz ao longo de |z|=1. Vamos usar o Teorema dos Resíduos: identificamos as singularidades de f(z)=1/(z^3+2iz^2), selecionamos as que estão dentro de |z|<1 e somamos seus resíduos.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
z^3+2i z^2=z^2(z+2i)
Assim há um polo de ordem 2 em z=0 e um polo simples em z=-2i. Como |-2i|=2>1, só o polo em z=0 está dentro de |z|<1.

Passo 3

Para um polo de ordem 2 em z=0, a fórmula do resíduo é
Res(f,0)=limzto0ddzl[z^2,f(z)r] =limzto0ddzl(1z+2ir)

Passo 4

Derivando 1/(z+2i) obtemos
ddzl(1z+2ir)=-1(z+2i)^2
Avaliando em z=0:
Res(f,0)=-1(2i)^2=-1-4=14

Passo 5

Pelo Teorema dos Resíduos,
ointCf(z),dz=2pi isumRes(f,polos dentro) =2pi icdot14=pi i2

Resposta

pi i2

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