Calcule as integrais usando o método da substituição

Passo 1

Temos a integral de uma função racional do tipo integral x+1(x^2+2x+5)^2,dx. O conteúdo aqui é o método de substituição, e vamos precisar identificar uma parte da expressão cuja derivada esteja presente no numerador para simplificar a integral.

Passo 2

Repare que o denominador é x^2+2x+5 e sua derivada é 2x+2 = 2(x+1). Ou seja, o numerador x+1 é justamente metade de 2(x+1), o que sugere a substituição u = x^2+2x+5.

Passo 3

Tomando u = x^2+2x+5, temos
du = (2x+2),dx = 2(x+1),dx implies (x+1),dx = du2

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral x+1(x^2+2x+5)^2,dx = integral 1u^2 cdot du2 = 12 integral u^-2,du

Passo 5

Agora integramos a potência de u:
12 integral u^-2,du = 12 cdot u^-1-1 + C = -12u + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável x substituindo u = x^2+2x+5.

Resposta

-\frac{1}{2,(x^2+2x+5)} + C

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