Encontre as derivadas das funûÏûçes
y=x^-x (x>0)

Passo 1

Nesse exercício vamos derivar a função y = x^(–x) para x > 0. O assunto é derivação de funções com expoente variável, e para isso vamos usar diferenciação logarítmica, a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Começo aplicando o logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a exponenciação. Usando ln(a^b)=bln a temos:
ln y = lnl(x^-xr) = -xln x

Passo 3

Agora diferencio implicitamente em relação a x. A derivada de ln y é y'y (regra da cadeia) e a de -xln x uso a regra do produto:
y'y = -l(1cdotln x + xcdottfrac1xr) = -l(ln x + 1r)

Passo 4

Por fim, isolo y' multiplicando ambos os lados por y. Como y=x^-x, obtemos:
y' = yl(-ln x -1r) = -x^-xl(ln x +1r)

Resposta

y' = -x^-x(ln x + 1)

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