Encontre as derivadas das funûÏûçes
Passo 1
O enunciado diz que temos a função y = x^{4\cos x} para x > 0. O conteúdo aqui é derivar uma função em que tanto a base quanto o expoente dependem de x. Para resolver isso de forma eficiente, vamos usar log-diferenciação.
Passo 2
Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a potência usando
:
Passo 3
Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, aplicamos a regra da cadeia:
. No direito, usamos produto entre
e
:
Passo 4
Isolamos
multiplicando ambos os lados por
e depois substituímos
:
Resposta
y’ = x^{4\cos x};4\Bigl(-\sin x,\ln x + \frac{\cos x}{x}\Bigr)