Encontre as derivadas das funûÏûçes
y=x^4 cos x (x>0)

Passo 1

O enunciado diz que temos a função y = x^{4\cos x} para x > 0. O conteúdo aqui é derivar uma função em que tanto a base quanto o expoente dependem de x. Para resolver isso de forma eficiente, vamos usar log-diferenciação.

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a potência usando ln(a^b)=bln a:
ln y = 4cos x ;ln x

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, aplicamos a regra da cadeia: ddx[ln y]=y'y. No direito, usamos produto entre 4cos x e ln x:
y'y = 4l(-sin xr)ln x + 4cos x cdot 1x

Passo 4

Isolamos y' multiplicando ambos os lados por y e depois substituímos y=x^4cos x:
y' = x^4cos x;4l(-sin xln x + cos xxr)

Resposta

y’ = x^{4\cos x};4\Bigl(-\sin x,\ln x + \frac{\cos x}{x}\Bigr)

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