Calcule as integrais usando o método da substituição

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 1x^3l(1+tfrac1x^2r)^5/3,dx usando o método de substituição. O conteúdo principal aqui é integração por substituição, em que a gente escolhe uma parte da integral como nova variável para simplificar o integrando.

Passo 2

Vamos definir u = 1 + tfrac1x^2. Para relacionar du com dx, derivamos:
dudx = -2,x^-3 Longrightarrow du = -2,x^-3,dx
Isso significa que x^-3,dx = -tfrac12,du. Agora substituímos na integral original:
integral x^-3l(1+ x^-2r)^5/3dx = integral (u)^5/3l(-tfrac12dur) = -tfrac12integral u^5/3,du

Passo 3

Para integrar u^5/3, usamos a fórmula integral u^n,du = tfracu^n+1n+1+C. Aqui n=5/3, então n+1=8/3:
-tfrac12integral u^5/3,du = -tfrac12 cdot u^8/38/3 + C = -316,u^8/3 + C

Passo 4

Por fim, voltamos à variável x substuindo u=1+tfrac1x^2, resultando em - 316 cdot (1 + 1x^2)^8/3 + C.

Resposta

-\tfrac{3}{16}\bigl(1+\tfrac{1}{x{2}}\bigr){8/3} + C

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