Seja z0 um número complexo constante qualquer interior a um contorno fechado simples qualquer C. Mostre que, para um inteiro positivo n,
ointC d z(z-z0)^n= 2 pi i, & n=1 0, & n>1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno, para um contorno simples positivo que envolve um ponto z0,
$$
\oint_{C} \frac{dz}{(z - z_{0})^{n}}$$
com ointC dz(z - z0)^n inteiro positivo. O conteúdo aqui é análise complexa básica: vamos usar a existência de primitiva quando n e o teorema de Cauchy (ou parametrização) para n>1.

Passo 2

Para n>1, note que a função f(z)=1/(z-z0)^n admite uma primitiva no domínio Csetminusz0. De fato, podemos verificar que
F(z)=-1n-1,(z-z0)^-n+1
é uma antiderivada, pois
F'(z)=-1n-1,(-n+1),(z-z0)^-n= 1(z-z0)^n=f(z)
Pelo teorema fundamental do cálculo para integrais de contorno, como F é holomorfa em Csetminusz0 e C não passa por z0, temos
ointC f(z),dz=0

Passo 3

Para n=1, a função f(z)=1/(z-z0) não admite primitiva global que envolva z0. Nesse caso, escolhemos um círculo auxiliar de raio R centrado em z0 e parametrize-o por
z=z0+Re^it, tin[0,2pi], dz=iRe^itdt
Então
ointC dzz-z0 =integral0^2piiRe^itdtRe^it = iintegral0^2pidt =2pi i
Como a integral de contorno em qualquer curva simples que envolve z0 é homotópica a essa integral no círculo e preserva o valor, concluímos o mesmo resultado para o contorno C.

Resposta

ointC dz(z - z0)^n=2pi i,&n=1,0,&n>1

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