Seja
um número complexo constante qualquer interior a um contorno fechado simples qualquer
. Mostre que, para um inteiro positivo
,
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno, para um contorno simples positivo que envolve um ponto
,
$$
\oint_{C} \frac{dz}{(z - z_{0})^{n}}$$
com inteiro positivo. O conteúdo aqui é análise complexa básica: vamos usar a existência de primitiva quando
e o teorema de Cauchy (ou parametrização) para
.
com
Passo 2
Para
, note que a função
admite uma primitiva no domínio
. De fato, podemos verificar que
é uma antiderivada, pois
Pelo teorema fundamental do cálculo para integrais de contorno, como
é holomorfa em
e
não passa por
, temos
Passo 3
Para
, a função
não admite primitiva global que envolva
. Nesse caso, escolhemos um círculo auxiliar de raio
centrado em
e parametrize-o por
Então
Como a integral de contorno em qualquer curva simples que envolve
é homotópica a essa integral no círculo e preserva o valor, concluímos o mesmo resultado para o contorno
.