Encontre as derivadas das funûÏûçes
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
para
. O conteúdo aqui é derivada de potência com base e expoente variáveis, então vamos usar diferenciação logarítmica, além das regras do produto e da cadeia.
Passo 2
Aplicamos o logaritmo natural dos dois lados para trazer o expoente para frente. Temos:
Agora simplificamos o logaritmo e distribuímos:
$$\ln y = \frac{3}{x}\bigl(\ln 2 - \ln x\bigr)
=3\ln2,x{-1}-3,x{-1}\ln x$$
Passo 3
Derivamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo fica
. No direito, derivamos termo a termo:
Para
Passo 4
Substituindo de volta e simplificando obtemos:
$$\frac{d}{dx}\ln y = -3\ln2,x{-2}-3\bigl(-x{-2}\ln x + x^{-2}\bigr)
=\frac{3}{x^2}(\ln x-\ln2-1)$$
Por fim, isolamos usando
.
Por fim, isolamos