Encontre as derivadas das funûÏûçes

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função y=l(tfrac2xr)^3/x para x>0. O conteúdo aqui é derivada de potência com base e expoente variáveis, então vamos usar diferenciação logarítmica, além das regras do produto e da cadeia.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural dos dois lados para trazer o expoente para frente. Temos:
ln y = 3x,ln!l(2xr)
Agora simplificamos o logaritmo e distribuímos:
$$\ln y = \frac{3}{x}\bigl(\ln 2 - \ln x\bigr)
=3\ln2,x{-1}-3,x{-1}\ln x$$

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo fica 1yy'. No direito, derivamos termo a termo:
ddxln y = -3ln2,x^-2-3l(x^-1ln xr)'
Para (x^-1ln x)' usamos produto:
(x^-1)'ln x + x^-1(ln x)' = (-x^-2)ln x + x^-11x = -x^-2ln x + x^-2

Passo 4

Substituindo de volta e simplificando obtemos:
$$\frac{d}{dx}\ln y = -3\ln2,x{-2}-3\bigl(-x{-2}\ln x + x^{-2}\bigr)
=\frac{3}{x^2}(\ln x-\ln2-1)$$
Por fim, isolamos ddxln y = -3ln2,x^-2-3l(-x^-2ln x + x^-2r) =3x^2(ln x-ln2-1) usando y'.

Resposta

y'=(tfrac2x)^3/xcdot3x^2l(ln x-ln2-1r)

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