Calcule as integrais usando o método da substituição

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de \ $ (2 - t^2) \sqrt[4]{6t - t^3} , dt $ usando o método da substituição. O conteúdo principal é identificar uma substituição adequada para simplificar a raiz quártica e transformar a integral em uma potência de $u$.

Passo 2

Vamos definir a substituição que elimina a expressão dentro da raiz. Seja \ $u = 6t - t^3$. Dessa forma, a raiz quártica fica simplesmente \ $u^{1/4}$. Precisamos expressar \ $dt$ em função de \ $du$. Derivando \ $u$ em relação a \ $t$ temos: \ $$ du = (6 - 3t^2) , dt = 3 (2 - t^2) , dt. $$ Logo, \ $ (2 - t^2) , dt = \frac{du}{3}$.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos: \ integral (2 - t^2) , (6t - t^3)^1/4 , dt = integral u^1/4 , du3 = 13 integral u^1/4 , du éêê
\frac{1}{3} \int u^{1/4} , du =
\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{5/4}}{5/4} + C =
\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} , u^{5/4} + C =
\frac{4}{15} , u^{5/4} + C. $$

Passo 4

Por fim, voltamos à variável $t$ substituindo $u = 6t - t^3$. Assim, a primitiva é: \ $$
\frac{4}{15} (6t - t3){5/4} + C. $$

Resposta

$ \displaystyle \frac{4}{15} ,(6t - t3){5/4} + C $

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