Calcule as integrais usando o método da substituição
integral t d traiz2 t^2+1

Passo 1

A questão pede para calcular a integral integral t,dtraiz2t^2+1 usando o método da substituição. O conteúdo é integração por substituição e precisamos identificar uma mudança de variável que transforme o radicando em algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Perceba que o denominador é raiz2t^2+1. A ideia é escolher u = 2t^2 + 1, pois sua derivada está relacionada ao numerador. Calculamos:
u = 2t^2 + 1
Derivando em relação a t, temos:
du = 4t,dt Longrightarrow t,dt = 14,du

Passo 3

Substituindo na integral original, trocamos t,dt por tfrac14du e raiz2t^2+1 por raizu:
integral t,dtraiz2t^2+1 = integral 1raizu cdot 14,du = 14 integral u^-1/2,du

Passo 4

Agora é só integrar em u. Lembrando que integral u^ndu = u^n+1n+1 + C:
14 integral u^-1/2,du = 14 cdot u^1/21/2 + C = 12 u^1/2 + C

Passo 5

Retornando à variável t, temos u^1/2 = raiz2t^2+1. Portanto, a antiderivada é:

Resposta

12raiz2t^2+1 + C

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