Encontre as derivadas das funûÏûçes

Passo 1

A questão pede a derivada da função y=lnl(x+4+raiz8x+x^2r). O conteúdo principal é a derivada de ln(u) usando a regra da cadeia, e também vamos usar a derivada de raizg(x).

Passo 2

Para derivar um ln(u), usamos ddxln(u)=u'u. E para raizg(x) vale ddxraizg(x)=g'(x)2raizg(x).

Passo 3

Definimos u(x)=x+4+raiz8x+x^2. Então
u'(x)=ddx(x)+ddxl(raiz8x+x^2r)=1+8+2x2raiz8x+x^2,

Passo 4

Simplificando u'(x):
u'(x)=1+8+2x2raiz8x+x^2=1+x+4raiz8x+x^2=l(x+4r)+raiz8x+x^2raiz8x+x^2,

Passo 5

Agora aplicamos y'=u'u:
y'=x+4+raiz8x+x^2raiz8x+x^2x+4+raiz8x+x^2,

Passo 6

Observe que x+4+raiz8x+x^2 aparece no numerador e denominador e se cancelam, resultando em
y'=1raiz8x+x^2

Resposta

y'=1raiz8x+x^2

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