Encontre as derivadas das funûÏûçes

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função y = ln(cos(sin^2 x)). O conteúdo envolve a regra da cadeia em três níveis: derivada de ln(u), de cos(u) e de sin^2 x. Vamos usar as fórmulas:
ddxl[ln(u)r]=u'u, ddx[cos(u)]=-sin(u),u', ddx[sin^2 x]=2sin xcos x

Passo 2

Aplicando a derivada de ln(u):
$$
y’ = \frac{1}{\cos(\sin^2 x)}\cdot \frac{d}{dx}\bigl[\cos(\sin^2 x)$$.
]

Passo 3

Agora derivamos cos(sin^2 x) usando a regra da cadeia:
ddx[cos(sin^2 x)] = -sin(sin^2 x)cdot ddx[sin^2 x]

Passo 4

Derivada de sin^2 x:
ddx[sin^2 x] = 2sin xcos x

Passo 5

Substituindo tudo em y' e simplificando:
y' = 1cos(sin^2 x)cdot l(-sin(sin^2 x)r)cdot (2sin xcos x) = -2sin xcos xcdotsin(sin^2 x)cos(sin^2 x) = -2sin xcos xtan(sin^2 x)

Resposta

-2sin xcos xtan(sin^2 x)

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