Calcule as integrais usando o método da substituição
integral e^x raiz1+4 e^x d x

Passo 1

Então, temos que calcular a integral integral e^xraiz1+4e^x,dx. O assunto aqui é integração por substituição, e a ideia é encontrar uma variável que simplifique a raiz.

Passo 2

Repare na expressão dentro da raiz, 1+4e^x. Faz sentido definir
u = 1 + 4e^x
para eliminar essa combinação. Agora derivamos em relação a x:
du = 4e^x,dx
Isso implica
e^x,dx = du4

Passo 3

Substituindo na integral original, trocamos raiz1+4e^x por raizu e e^xdx por du/4:
integral e^xraiz1+4e^x,dx = integral raizu;du4 = 14integral u^1/2,du

Passo 4

Agora é só usar a regra de potência para integrar u^1/2:
integral u^1/2,du = u^3/23/2 = 23u^3/2
Multiplicando por 1/4
14cdot23u^3/2 = 16u^3/2

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = 1+4e^x. A antiderivada fica
16l(1+4e^xr)^3/2 + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

16l(1+4e^xr)^3/2 + C

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