Encontre as derivadas das funûÏûçes

Passo 1

Temos a função y=arcsin(u) com u=1-x1+x e domínio dado por 1+x>0. Para derivar, vamos usar a regra da cadeia (derivada de arcsin(u)) junto com a regra do quociente (para u').

Passo 2

Definindo u=1-x1+x, aplicamos a regra do quociente:
u'=(-1),(1+x)-(1-x),(1)(1+x)^2=-1-x-1+x(1+x)^2=-2(1+x)^2

Passo 3

Como y=arcsin(u), sua derivada é
y'=u'raiz1-u^2
Precisamos simplificar 1-u^2:
1-u^2=(1+x)^2-(1-x)^2(1+x)^2=4x(1+x)^2,
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raiz1-u^2=2raizx1+x,
considerando que no domínio resultante temos x>=0.

Passo 4

Substituindo u' e raiz1-u^2 em y' e simplificando:
y'=-2/(1+x)^22raizx/(1+x)=-2(1+x)^2cdot1+x2raizx=-1(1+x)raizx

Resposta

y'=-1(1+x)raizx

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