Descreva contornos
para os quais
para cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar contornos fechados nos quais
. O conteúdo é teoria de funções holomorfas e singularidades e vamos precisar usar o Teorema de Cauchy e o princípio de deformação de contorno.
Passo 2
A função
é meromorfa no plano complexo, com polos simples exatamente onde
, ou seja em
para todo inteiro
.
Pelo Teorema de Cauchy, se uma função é holomorfa em uma região simplesmente conexa que contém o interior de um contorno , então
. No nosso caso,
é holomorfa em qualquer região que não contenha nenhum
.
Pelo Teorema de Cauchy, se uma função é holomorfa em uma região simplesmente conexa que contém o interior de um contorno
Passo 3
Logo, qualquer contorno fechado
que possa ser continuamente deformado a um ponto sem cruzar nenhum polo
satisfaz
. Em particular, podemos escolher contornos internos a um intervalo
na reta real ou dentro de tiras horizontais, por exemplo.
Passo 4
Em termos gerais, o conjunto de todos os contornos fechados em sub-regiões do plano complexo que não envolvem (nem enclausuram) quaisquer pontos
são válidos.
Resposta
Qualquer contorno fechado que não encerce nenhum dos polos
(
) faz com que
. Em outras palavras, todo contorno que possa ser deformado a uma curva trivial sem atravessar os pontos
atende à condição.