Descreva contornos C para os quais ointC f(z) d z=0 para cada uma das seguintes funções:
f(z)=csc z

Passo 1

O enunciado pede para encontrar contornos fechados nos quais ointCcsc z,dz=0. O conteúdo é teoria de funções holomorfas e singularidades e vamos precisar usar o Teorema de Cauchy e o princípio de deformação de contorno.

Passo 2

A função csc z = 1/sin z é meromorfa no plano complexo, com polos simples exatamente onde sin z=0, ou seja em z=kpi para todo inteiro k.
Pelo Teorema de Cauchy, se uma função é holomorfa em uma região simplesmente conexa que contém o interior de um contorno C, então ointC f(z),dz=0. No nosso caso, csc z é holomorfa em qualquer região que não contenha nenhum z=kpi.

Passo 3

Logo, qualquer contorno fechado C que possa ser continuamente deformado a um ponto sem cruzar nenhum polo z=kpi satisfaz ointCcsc z,dz=0. Em particular, podemos escolher contornos internos a um intervalo (kpi,(k+1)pi) na reta real ou dentro de tiras horizontais, por exemplo.

Passo 4

Em termos gerais, o conjunto de todos os contornos fechados em sub-regiões do plano complexo que não envolvem (nem enclausuram) quaisquer pontos z=kpi são válidos.

Resposta

Qualquer contorno fechado que não encerce nenhum dos polos z=kpi ( kin Z) faz com que ointCcsc z,dz=0. Em outras palavras, todo contorno que possa ser deformado a uma curva trivial sem atravessar os pontos kpi atende à condição.

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