Calcule as integrais usando o método mais adequado
108. \int x^{2} \sqrt{3-2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{2}\sqrt{3-2x}\,dx
Isso envolve um polinômio vezes uma raiz quadrada de expressão linear, então o método mais adequado é a mudança de variável (substituição), de modo a eliminar a raiz.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3 - 2x.
Então
du = -2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = -\tfrac12\,du.

Passo 3

Precisamos também escrever x^2 em função de u. Da definição de u vem
x = \frac{3 - u}{2} \quad\Longrightarrow\quad x^2 = \frac{(3 - u)^2}{4}.
Substituindo na integral, temos
\int x^2\sqrt{3-2x}\,dx = \int \frac{(3-u)^2}{4}\,\sqrt{u}\,\Bigl(-\tfrac12\,du\Bigr) = -\frac18\int (3-u)^2\,u^{1/2}\,du.

Passo 4

Expandimos (3-u)^2 e multiplicamos por u^{1/2}:
(3-u)^2 = 9 - 6u + u^2,
(3-u)^2\,u^{1/2} = 9u^{1/2} - 6u^{3/2} + u^{5/2}.
Logo a integral fica
-\frac18\int\bigl(9u^{1/2} - 6u^{3/2} + u^{5/2}\bigr)\,du = -\frac{9}{8}\int u^{1/2}du + \frac{6}{8}\int u^{3/2}du - \frac{1}{8}\int u^{5/2}du.

Passo 5

Calculamos cada primitiva:
\int u^{1/2}du = \frac{2}{3}u^{3/2}, \quad \int u^{3/2}du = \frac{2}{5}u^{5/2}, \quad \int u^{5/2}du = \frac{2}{7}u^{7/2}.
Substituindo os coeficientes:
-\frac{9}{8}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + \frac{6}{8}\cdot\frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{1}{8}\cdot\frac{2}{7}u^{7/2} = -\frac{3}{4}u^{3/2} + \frac{3}{10}u^{5/2} - \frac{1}{28}u^{7/2} + C.

Passo 6

Retornando à variável x com u = 3 - 2x, a primitiva é
-\frac{3}{4}(3-2x)^{3/2} + \frac{3}{10}(3-2x)^{5/2} - \frac{1}{28}(3-2x)^{7/2} + C.

Resposta

-\frac{3}{4}(3-2x)^{3/2} + \frac{3}{10}(3-2x)^{5/2} - \frac{1}{28}(3-2x)^{7/2} + C.

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