2^{a} Questão (0,6 ponto): Efetue as operações e simplifique
\frac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}}{x-y}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}}{x - y}.
O conteúdo envolvido é manipulação de frações algébricas e fatoração de diferença de quadrados.

Passo 2

Primeiro, unimos as duas frações no numerador usando denominador comum x^{2}y^{2}:
\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}} = \frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2}y^{2}}.

Passo 3

Substituímos esse resultado na expressão original:
\frac{\frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2}y^{2}}}{x - y} = \frac{y^{2} - x^{2}}{\,x^{2}y^{2}\,(x - y)\,}.

Passo 4

Reconhecemos que y^{2} - x^{2} é diferença de quadrados e fatoramos:
y^{2} - x^{2} = (y - x)(y + x).
Logo,
\frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2}y^{2}(x - y)} = \frac{(y - x)(y + x)}{x^{2}y^{2}(x - y)}.

Passo 5

Note que y - x = -\,(x - y). Ao cancelar o fator comum (x - y) surge um sinal negativo:
\frac{(y - x)(y + x)}{x^{2}y^{2}(x - y)} = \frac{-\,(x - y)(y + x)}{x^{2}y^{2}(x - y)} = -\frac{y + x}{x^{2}y^{2}}.

Resposta

-\frac{x + y}{x^{2}y^{2}}

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